重整化群与临界指数

问题：临界温度上 $η \sim h^{1/ δ}$ ，平均场给出 $δ = 3$ ，三维实验/数值给出 $δ \approx 4.79 \approx 4.8$ 。为什么会差这么多，以及重整化群如何算出 $4.8$ 。

主线（五站）

01-相变现象与临界指数 —— 序参量、连续相变、临界指数定义、谜题 $3$ vs $4.8$ 、普适性。
02-平均场理论算出δ等于3 —— 朗道自由能极小化得 $β = \frac{1}{2}, δ = 3, γ = 1$ ；隐藏假设（抹掉涨落）。
03-平均场为何失败 —— 金兹堡判据： $d < 4$ 涨落主导，上临界维度 $d_{c} = 4$ 。
04-标度假设与普适性 —— 奇异自由能广义齐次 → 六指数压成 $(y_{t}, y_{h})$ 两个 → 标度律、超标度、数据塌缩、普适性。
05-重整化群 —— 粗粒化流的不动点本征值即 $(y_{t}, y_{h})$ ；高斯不动点（ $d \geq 4$ ， $δ = 3$ ）在 $d < 4$ 失稳、流向威尔逊–费希尔不动点， $ε = 4 - d$ 展开组装出 $δ \approx 4.8$ 。

符号约定 —— 序参量 $η$ /场 $φ$ 、 $\tilde{η}$ 、系综平均、物理映射。
从配分函数导出热力学量 —— $F = - k_{B} T ln Z$ ；内能、熵、比热（ $C = - T \partial_{T}^{2} F$ ）、磁化、磁化率、压强的导出。
关联函数与关联长度 —— 金兹堡–朗道泛函、连通关联、高斯算 $G (k)$ 、 $ξ$ 、 $\tilde{η}$ 。
涨落-响应关系 —— 引理；磁化率=磁化涨落、热容=能量涨落、 $χ = \frac{1}{k _{B} T} \int G$ 。
广义齐次函数 —— 第四站的数学前置。
RG变换-耦合常数与粗粒化 —— 第五站的机制前置：什么是耦合常数、一步 RG 做了什么。
一维伊辛抽取RG —— 第五站的精确算例。
一维伊辛自由能-Chandler精确值 —— Chandler 128 页表：RG 迭代算自由能 vs 解析精确值、误差为何减半。
递推全是等式为何仍有误差 —— 递推是精确”关系”、需边界条件；唯一的近似藏在起始种子里。
RG的流是递推还是真正的流 —— “流”是动力系统的精确术语（半群→ODE）；不严谨的反倒是”群”字。
3D无精确解-真值来源与RG的意义 —— 没有精确解时 3D 真值从哪来；既然有数值为何还要 RG。
数据集-CrBr3标度 —— 可分析的练手数据 + 代码。
数值计算-RG —— 一维 RG 与威尔逊–费希尔的数值代码。

入口 2D与3D伊辛的RG-方法地图——按维度分流的方法地图，下挂：

2D 实空间 RG：2D伊辛-decimation与耦合爆炸（抽取生新耦合的精确算例）、2D伊辛-Migdal-Kadanoff递推（移键 $K^{'} = \frac{1}{2} ln cosh 4 K$ ）、2D伊辛-NvL累积量展开（多数票+累积量）、2D伊辛-精确解与CFT基准（Onsager + 共形场论）。
3D RG：3D伊辛-场论RG-ε展开与定维展开、3D伊辛-泛函RG-Wetterich方程、3D伊辛-共形自举（含五法对比表）。
张量网络 RG：张量网络RG-Z张量化与TRG原理、张量网络RG-HOTRG解3D与TNR不动点（为何能解 3D、代表结果、现状辨析）。