02-平均场理论算出δ等于3

平均场（朗道）给出 δ=3

朗道自由能

平衡态取在自由能最小处。设系统空间均匀、序参量是一个常数 $\eta$。$T_c$ 附近 $\eta$ 很小，把自由能密度按 $\eta$ 展开；无外场时系统有翻转对称 $\eta \to -\eta$，只允许偶次幂，再加上与外场的耦合 $-h\eta$，保留到四次：

$f(\eta )=f_0+a{\eta }^2+b{\eta }^4-h\eta ,b>0.$

$b>0$ 保证自由能有下界、系统稳定。唯一的物理输入是：$a$ 在 $T_c$ 处变号，取最简单的形式 $a=a_{0}t$（$a_0>0$）。$a>0$ 时 $f$ 是单阱，极小点位于 $\eta =0$（无序相）；$a<0$ 时 $\eta =0$ 处变成极大，两侧各出现一个对称的极小点 $\eta \ne 0$（有序相）。

平衡条件（对 $\eta$ 求极值）：

\frac{\partial f}{\partial\eta}=2a\eta+4b\eta^3-h=0. \tag{$\ast$}

热力学指数（α、β、γ、δ）

$\beta$（自发磁化，$h=0$）. 令 $h=0$，$(\ast )$ 式化为 $2a\eta +4b{\eta }^3=0$，解得 $\eta =0$ 或 ${\eta }^2=-a/2b$。$T<T_c$ 时 $a<0$，取非零解

$\eta =\sqrt{\frac{a_0|t|}{2b}}\propto (-t{)}^{1/2}\Rightarrow \beta =\frac{1}{2}.$

$\delta$（临界等温线，$t=0$ 即 $a=0$）. 令 $a=0$，$(\ast )$ 式化为 $4b{\eta }^3=h$，解得

$\eta =(\frac{h}{4b}{)}^{1/3}\propto h^{1/3}\Rightarrow \delta =3.$

$\gamma$（磁化率）. 对 $(\ast )$ 式两边关于 $h$ 求导，记 $\chi =\partial \eta /\partial h$，得 $(2a+12b{\eta }^2)\chi =1$。$T>T_c$ 时 $\eta =0$，代入得 $\chi =1/(2a_{0}t)$；$T<T_c$ 时代入 ${\eta }^2=-a/2b$，有 $2a+12b{\eta }^2=-4a$，得 $\chi =1/(4a_0|t|)$。两侧都给出 $\gamma =1$。

比热由 $f$ 在极小处对 $t$ 求二阶导得到，结果是一个有限跳变，故 $\alpha =0$。以上四个是均匀朗道理论能给出的热力学指数；关联指数 $\nu =\frac{1}{2},\tilde{\eta }=0$ 必须由涨落分析才能得到（关联函数与关联长度）。六个平均场指数的汇总见 03-平均场为何失败。

外场何时保留、何时设零

$(\ast )$ 式里带有 $h$。求自发/内禀量（$\beta$ 对应的自发磁化，以及后面的关联函数）时设 $h=0$；求对外场的响应（$\delta$、$\chi$）时则保留 $h$。其机理：把序参量场绕平衡值 $\eta$ 展开，涨落 $\delta \phi$ 的线性项系数恰好等于平衡条件 $(\ast )$ 的左端，按 $(\ast )$ 它为零，所以 $h$ 只平移均值 $\eta$、不进入涨落的二次型——内禀量与 $h$ 无关。

隐藏假设

整个推导都假设序参量空间均匀、自由能是它的光滑函数，相当于把每个磁矩感受到的邻居作用换成统一的平均场，抹掉了空间涨落。而 $T_c$ 处 $\xi \to \infty$，涨落跨越所有尺度，恰恰就是被抹掉的那部分。下一站把这一点定量化，给出平均场失效的判据。