03-平均场为何失败

平均场为何失败

平均场把序参量当成均匀的，抹掉了涨落（02-平均场理论算出δ等于3）。本站定量给出它失效的判据。

平均场的六个临界指数

指数	值	来源
$\alpha$（比热）	$0$（跳变）	朗道 $f$ 极小对 $t$ 二阶导（02-平均场理论算出δ等于3）
$\beta$（自发磁化）	$1/2$	同上
$\gamma$（磁化率）	$1$	同上
$\delta$（临界等温线）	$3$	同上
$\nu$（关联长度）	$1/2$	高斯涨落 $\xi =\sqrt{c/a}\propto |t{|}^{-1/2}$（关联函数与关联长度）
$\tilde{\eta }$（关联衰减）	$0$	高斯涨落 $G\sim r^{-(d-2)}$（同上）

前四个（热力学指数）来自空间均匀的朗道自由能极小化；后两个（关联指数）必须把序参量当成场、做高斯涨落分析才能得到——均匀朗道理论本身给不出 $\nu ,\tilde{\eta }$。

这六个值满足三条不含 $d$ 的标度律：Rushbrooke $\alpha +2\beta +\gamma =0+1+1=2$；Widom $\beta (\delta -1)=\frac{1}{2}\cdot 2=1=\gamma$；Fisher $\nu (2-\tilde{\eta })=\frac{1}{2}\cdot 2=1=\gamma$。但超标度律 $\nu d=2-\alpha$ 代入后成了 $d/2=2$，只在 $d=4$ 时成立——这预示了下面金兹堡判据里维度 $4$ 将是分界。

自洽判据（金兹堡判据）

平均场可信的条件是：它所忽略的涨落确实足够小。具体地，在关联体积 ${\xi }^d$ 内（$\xi$ 范围内的涨落步调一致、真正起作用），涨落要远小于序参量本体：

$⟨{\Phi }_V^2⟩\ll {\eta }^2,{\Phi }_V=\frac{1}{V}{\int }_V\delta \phi d^{d}r(V={\xi }^d).$

这里 $⟨{\Phi }_V^2⟩$ 是序参量在体积 $V$ 上空间平均之后的方差，而不是发散的逐点方差 $⟨\delta \phi (\mathbf{r}{)}^2⟩$。

关联体积内的涨落

$⟨{\Phi }_V^2⟩=\frac{1}{V^2}{\int }_V{\int }_V⟨\delta \phi (\mathbf{r})\delta \phi ({\mathbf{r}}^{\prime })⟩d^{d}r{d}^d{r}^{\prime }=\frac{1}{V^2}{\int }_V{\int }_{V}G(\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime })d^{d}r{d}^d{r}^{\prime }.$

固定两点间距、先对其中一个变量积分，得到的重叠体积 $\approx V$，于是双重积分 $\approx V\int G$，从而 $⟨{\Phi }_V^2⟩\approx \frac{1}{V}\int G=\frac{k_{B}T\chi }{V}$（末步用了 涨落-响应关系 中的 $\int G=k_{B}T\chi$）。代入 $V={\xi }^d\propto |t{|}^{-d/2}$、$\chi \propto |t{|}^{-1}$：

$⟨{\Phi }_V^2⟩\propto \frac{|t{|}^{-1}}{|t{|}^{-d/2}}=|t{|}^{(d-2)/2}.$

比值与上临界维度

序参量本体（02-平均场理论算出δ等于3，$T<T_c$）为 ${\eta }^2=\frac{a_0|t|}{2b}\propto |t|$。把判据两边相除：

$R(t)=\frac{⟨{\Phi }_V^2⟩}{{\eta }^2}\propto \frac{|t{|}^{(d-2)/2}}{|t|}=|t{|}^{(d-4)/2}.$

维度	$(d-4)/2$	$t\to 0$ 时 $R$	平均场
$d>4$	$>0$	$\to 0$	可信
$d=4$	$0$	常数	临界维度
$d<4$	$<0$	$\to \infty$	失效

上临界维度 $d_c=4$。

结论

真实世界 $d=3<4$：越靠近 $T_c$，涨落越压倒序参量，平均场系统性地出错——这正是 $\delta \ne 3$ 的根本原因。反过来，$d>4$（如五维）时平均场反而精确，$\delta =3$ 在那里确实成立。平均场对不对，取决于空间维度。

但判据只告诉我们”$d<4$ 时失效”，并没有给出正确的 $\delta$ 值。它点明了 $d=4$ 这个特殊维度，以及”偏离 $4$ 的程度 $4-d$“才是关键变量——第五站的重整化群正是以 $\epsilon =4-d$ 为小量做展开。在那之前，第四站先用标度假设把待求的指数压缩到最少。