01-相变现象与临界指数

相变与临界指数

序参量与连续相变

铁磁体的总磁化 $M$（单位体积磁矩）随温度的行为：$T>T_c$ 时热运动使磁矩取向随机，无外场下 $M=0$（无序相）；$T<T_c$ 时磁矩自发同向，撤去外场仍残留 $M\ne 0$（自发磁化，有序相）；分界温度 $T_c$（铁约 $1043$ K）。

凡”无序相为零、有序相非零”的量称序参量。相变分两类：

• 连续相变（二级）：序参量在 $T_c$ 连续地从零长出。临界指数只对这一类有意义。
• 一级相变：序参量在 $T_c$ 跳变，伴随潜热（如冰水）。本系列只讨论连续相变。

液气临界点是同类现象，序参量取液气密度差 ${\rho }_l-{\rho }_g$。

临界指数

约化温度 $t=(T-T_c)/T_c$。临界点附近各量按幂律奇异，幂指数即临界指数：

指数	定义	量
$\beta$	$\eta \sim (-t{)}^{\beta }$（$h=0,t\to 0^{-}$）	自发序参量
$\delta$	$\eta \sim h^{1/\delta }$（$t=0$）	临界等温线
$\gamma$	$\chi \sim |t{|}^{-\gamma }$	磁化率 $\chi =\partial \eta /\partial h$
$\alpha$	$C\sim |t{|}^{-\alpha }$	比热
$\nu$	$\xi \sim |t{|}^{-\nu }$	关联长度
$\tilde{\eta }$	$G(r)\sim r^{-(d-2+\tilde{\eta })}$（$t=0$）	临界点关联衰减

关联长度 $\xi$：序参量涨落能彼此影响、步调一致的最大距离。远离 $T_c$ 时 $\xi$ 仅几个晶格间距，$T\to T_c$ 时 $\xi \to \infty$。

谜题

$\delta$ 测的是这样一件事：把温度精确调到 $T_c$，加一个小外场 $h$，看磁化如何随场长出来，$\eta \propto h^{1/\delta }$。这里有两套互相矛盾的答案：

	$\beta$	$\gamma$	$\delta$	$\alpha$
平均场（朗道，02-平均场理论算出δ等于3）	$1/2$	$1$	$3$	$0$
三维伊辛（实验/数值）	$0.326$	$1.24$	$4.79$	$0.11$

”$\delta$ 是 $4.8$ 不是 $3$“即此格。对数坐标上临界等温线斜率 $1/\delta$，两者明显不同：

伊辛模型：最简单的磁体格点模型，每点一个只能朝上/朝下的自旋、相邻倾向同向；其三维数值解给出右列。

普适性

铁磁体、液气临界点、合金有序化等微观上毫不相干的系统，量出同一套临界指数，只依赖空间维度 $d$ 与序参量对称性，与原子种类、相互作用强度、晶格类型无关。平均场给出的 $\delta =3$ 与此不符；正确值 $4.8$ 从何而来、普适性又为何成立，是后面四站要解决的问题。