05-重整化群

重整化群

前四站的标度假设和 $(y_t,y_h)$ 都还只是经验拟设。重整化群（RG）把”换一个更粗的尺度看系统”做成一个能真正计算的映射，本站从它出发求出 $(y_t,y_h)$，导出标度假设与普适性，并算出 $\delta \approx 4.8$。

起点是机制支线 RG变换-耦合常数与粗粒化 的两条结论：系统由一串耦合常数 $\mu =(K_1,K_2,\dots )$ 标定，一步 RG（尺度因子 $b>1$）给出映射 ${\mu }^{\prime }=R_b(\mu )$；反复迭代在耦合空间走出一条流，关联长度满足 $\xi (\mu )=b\xi (R_b\mu )$。

不动点

流里有特殊的点 ${\mu }^{\ast }$，变换后不动：${\mu }^{\ast }=R_b({\mu }^{\ast })$。它满足 $\xi ({\mu }^{\ast })=b\xi ({\mu }^{\ast })$，因 $b>1$，只能 $\xi =0$ 或 $\xi =\infty$。而临界点的标志正是 $\xi =\infty$（01-相变现象与临界指数），所以临界点对应 $\xi =\infty$ 的那个不动点。要算临界行为，就研究这个不动点附近的流。

$\xi =0$（稳定）的不动点对应体相——流最终被吸进去的那个相；$\xi =\infty$（不稳定）的不动点夹在两相之间，是相与相的分界，即临界点。以伊辛为例：$K=0$（$T=\infty$，无序相）和 $K=\infty$（$T=0$，有序相）是两个稳定不动点；二维时它们之间还多出一个有限的不稳定不动点 $K_c$，$K<K_c$ 的系统流向 $K=0$、$K>K_c$ 的流向 $K=\infty$，$K_c$ 正是两相的分界、也就是相变点（一维没有这个有限不动点，故无有限温相变，见 一维伊辛抽取RG）。

附带一提：粗粒化把短程自由度求和掉、不可逆，故 $\{R_b\}$ 严格说只是半群而非群——“重整化群”里的”群”多半是历史叫法（曾有把”RG 变换 $\to$ 临界指数”类比于”对称性 $\to$ 守恒量”的设想）。详见 RG的流是递推还是真正的流。

在不动点附近线性化

记偏离 $\delta \mu =\mu -{\mu }^{\ast }$，把映射 $R_b$ 在不动点附近展开到一阶：

$\delta {\mu }^{\prime }={\mathbf{R}}^{\ast }\delta \mu ,{\mathbf{R}}^{\ast }=\frac{\partial R_b}{\partial \mu }{|}_{{\mu }^{\ast }}$

（${\mathbf{R}}^{\ast }$ 即各分量对各耦合的偏导排成的雅可比矩阵）。这是一个线性映射，对它做本征值分解：设本征值 ${\lambda }_i$、本征方向 $g_i$，则沿本征方向 $g_i^{\prime }={\lambda }_i{g}_i$。

本征值必是 $b$ 的幂。 连做两步 $b$ 倍变换等于一步 $b^2$ 倍变换（半群性质：$R_b\circ R_b=R_{b^2}$），故本征值满足 $\lambda (b)\lambda (b)=\lambda (b^2)$，更一般地 $\lambda (b_1)\lambda (b_2)=\lambda (b_1{b}_2)$。满足这条乘法律的连续函数只能是幂函数，于是

${\lambda }_i=b^{y_i},g_i^{\prime }=b^{y_i}{g}_i.$

指数 $y_i$ 不依赖 $b$，是不动点的内禀数据。按 $y_i$ 符号分三类：

• $y_i>0$，相关方向：$g_i$ 被一步步放大，系统离不动点越来越远。对应实验上要主动调节的旋钮——温度 $t$、外场 $h$。
• $y_i<0$，无关方向：$g_i$ 被压向零、冲掉。对应晶格类型、相互作用细节等微观差异。
• $y_i=0$，边缘方向。

由此导出 ν、标度假设、普适性

在 $\xi =b\xi (b^{y_t}t)$（只留相关方向 $t$）里取 $b=|t{|}^{-1/y_t}$ 把 $b^{y_t}t$ 标成 $\pm 1$，得 $\xi \sim |t{|}^{-1/y_t}$，即 $\nu =1/y_t$。

自由能密度同理（粗粒化每步把密度摊薄 $b^{-d}$，04-标度假设与普适性）满足 $f_s(\{g_i\})=b^{-d}{f}_s(\{b^{y_i}{g}_i\})$。丢掉被冲走的无关方向、只留 $t,h$，这正是第四站凭空假设的标度假设——而 $y_t,y_h$ 现在有了出处：就是不动点雅可比 ${\mathbf{R}}^{\ast }$ 的相关本征值指数。普适性也随之水落石出：无关方向全被冲掉，凡落在同一不动点吸引域里的系统，微观差异消失、流向同一不动点，必量出同一套指数。一个普适类就对应一个不动点。

换个更具体的角度看指数怎么”读”出来：把每自旋奇异自由能沿坐标轴写成幂律 $f_s\sim A|t{|}^p+B|h{|}^q$。一步 RG 把 $s=b^d$ 个自旋并成一个、$t\to b^{y_t}t,h\to b^{y_h}h$，自相似要求 $f_s(t,h)=b^{-d}{f}_s(b^{y_t}t,b^{y_h}h)$。沿温度轴比较两边幂次得 $b^{-d}{b}^{y_{t}p}=1$，即 $p=\frac{d}{y_t}=\frac{\ln s}{\ln b^{y_t}}$；同理 $q=d/y_h$。指数就是”$\ln s$ 比上 $\ln$（本征值）“——再由第四站换算给出 $\alpha =2-p$、$\delta =y_h/(d-y_h)$ 等全套指数。

高斯不动点：平均场与 d=4

要拿到具体数字，得选一个能算的 $R_b$。用第三站的金兹堡–朗道泛函（关联函数与关联长度）

$F=\int d^{d}x[\frac{1}{2}(\nabla \phi {)}^2+\frac{1}{2}r{\phi }^2+u{\phi }^4-h\phi ],$

耦合常数取 $\mu =(r,u,h,\dots )$，其中 $r\propto t$。重标长度 $x=b{x}^{\prime }$ 时，场也要乘一个幂 $\phi =b^{-\Delta }{\phi }^{\prime }$，这个幂 $\Delta$ 叫场的标度维度。$\Delta$ 由”梯度项系数保持不变”定出：$\int d^{d}x(\nabla \phi {)}^2=b^{d-2-2\Delta }\int d^d{x}^{\prime }({\nabla }^{\prime }{\phi }^{\prime }{)}^2$，要它不变须 $\Delta =\frac{d-2}{2}$。把这个 $\Delta$ 代进其余各项（每项 $\int d^{d}x{\phi }^p$ 出一个因子 $b^{d-p\Delta }$），读出各耦合的本征值：

$r^{\prime }=b^{2}r(y_t=2,\nu =\frac{1}{2}),u^{\prime }=b^{4-d}u(y_u=4-d),y_h=\frac{d+2}{2}(\tilde{\eta }=0).$

$u=0$（无 ${\phi }^4$ 项）就是高斯不动点，它给出的指数正是平均场值。$y_u=4-d$ 的符号决定一切：$d>4$ 时 $u$ 无关、高斯不动点稳定、平均场精确（$\delta =3$）；$d<4$ 时 $u$ 相关、高斯不动点失稳；$d=4$ 边缘。这就是上临界维度 $d_c=4$ 在 RG 框架下的来源。

（一个细节：$d>4$ 时 $u$ 虽无关，却不能直接置零——序参量这类量含 $u^{-1/2}$，会在 $u\to 0$ 发散，故称 $u$ 为危险无关变量。正因如此，$d>4$ 的指数仍取平均场值 $\beta =\frac{1}{2},\delta =3$，而超标度律 $\nu d=2-\alpha$ 在那里被破坏。）

威尔逊–费希尔不动点与 ε 展开

$d<4$ 时高斯不动点失稳，流要跑去别处——跑到哪个新不动点？得追踪 $u$ 怎么流动。设 $d=4-\epsilon$、$\epsilon$ 小。把离散迭代写成连续形式，记 $\ell =\ln b$ 为累积的对数尺度（“RG 时间”）。只看上面的重标，$u^{\prime }=b^{\epsilon }u$ 即 $\frac{du}{d\ell }=\epsilon u$，$u$ 只会涨、给不出非零不动点。但涨落会反馈回来：对 ${\phi }^4$ 项做一圈（最低阶微扰）计算，添上一个 $-(n+8)u^2$ 项，

$\frac{du}{d\ell }=\epsilon u-(n+8)u^2.$

（系数 $(n+8)$ 与这一项来自 ${\phi }^4$ 场论的一圈动量壳积分，推导属研究生场论，这里直接引用；$n$ 是序参量的分量数，伊辛 $n=1$。）令 $du/d\ell =0$，除 $u=0$ 外多出一个非零零点

$u^{\ast }=\frac{\epsilon }{n+8}>0,$

这个 $O(\epsilon )$ 的威尔逊–费希尔不动点在 $d<4$ 接管临界行为。在 $u^{\ast }$ 处线性化，指数偏离高斯值，一圈结果（同为引用）为

$y_t=2-\frac{n+2}{n+8}\epsilon +O({\epsilon }^2),\tilde{\eta }=\frac{n+2}{2(n+8{)}^2}{\epsilon }^2+O({\epsilon }^3).$

偏离量正比于 $\epsilon =4-d$——恰是金兹堡判据点出的”低于 $4$ 的程度”。伊辛 $n=1$：$\nu =\frac{1}{y_t}\approx \frac{1}{2}+\frac{\epsilon }{12}$，$\tilde{\eta }=\frac{{\epsilon }^2}{54}$。数值求解见 数值计算-RG。

算出 δ≈4.8

由第四站的 $\delta =\frac{y_h}{d-y_h}$ 与 $\tilde{\eta }=d+2-2y_h$ 消去 $y_h$（解出 $y_h=\frac{d+2-\tilde{\eta }}{2}$）：

$\boxed{\delta =\frac{d+2-\tilde{\eta }}{d-2+\tilde{\eta }}.}$

所以威尔逊–费希尔不动点一旦定出 $\tilde{\eta }$，$\delta$ 随之而定。三维伊辛 $\tilde{\eta }\approx 0.036$（来自高阶 $\epsilon$ 展开；$\epsilon =1$ 并不小，裸级数只是渐近的，须做重求和才精确，一圈单独只给 $\tilde{\eta }\approx 0.019$）：

$\delta =\frac{5-0.036}{1+0.036}\approx 4.79\approx \mathrm{4.8.}$

$\delta =3$ 是高斯不动点（即平均场）的值，只在 $d\ge 4$ 成立；三维 $d<4$，涨落使高斯不动点失稳，系统转而流向威尔逊–费希尔不动点，其 $\tilde{\eta }\ne 0$ 把 $\delta$ 顶到 $4.8$。

整条线

现象 $\delta \approx 4.8$（一）→ 平均场给出 $3$（二）→ 金兹堡判据：$d<4$ 涨落主导、$d_c=4$（三）→ 标度假设把六指数压成两个 $(y_t,y_h)$（四）→ RG：粗粒化流的不动点本征值就是 $(y_t,y_h)$，高斯不动点（$d\ge 4$，$\delta =3$）在 $d<4$ 失稳、流向威尔逊–费希尔不动点，$\epsilon$ 展开算出 $\nu ,\tilde{\eta }$，组装得 $\delta \approx 4.8$（五）。