RG 变换：耦合常数与粗粒化

第五站的前置。先把两件被略过的事说清楚：用什么描述一个系统（耦合常数），以及一步重整化群变换到底做了什么（粗粒化 + 重标）。

系统由耦合常数描述

这里的”系统”指一个统计力学模型——比如第一站的伊辛磁体（01-相变现象与临界指数）：每个格点一个自旋 $s_i=\pm 1$，相邻自旋倾向同向。它的全部物理由能量函数 $E(\{s_i\})$ 决定，平衡态按玻尔兹曼权重 $e^{-E/k_{B}T}$ 取样（配分函数与系综平均见 从配分函数导出热力学量）。

把 $-E/k_{B}T$ 写出来，每一类相互作用前面都带一个系数，这些系数就叫耦合常数。一维伊辛（一维伊辛抽取RG）只有一种相互作用：

$-\frac{E}{k_{B}T}=K{\sum }_i{s}_i{s}_{i+1},K=\frac{J}{k_{B}T}.$

$K$ 就是这里唯一的耦合常数，无量纲，度量”近邻倾向同向”的强弱：$K$ 大（低温）耦合强、易有序，$K$ 小（高温）耦合弱、趋于无序。一般模型不止一种相互作用，于是有一串耦合常数

$\mu =(K_1,K_2,K_3,\dots ),$

例如 $K_1$ 配近邻 $\sum s_i{s}_{i+1}$、$K_2$ 配次近邻 $\sum s_i{s}_{i+2}$、还可有四自旋耦合 $\sum s_i{s}_j{s}_k{s}_l$ 等。一个系统就是耦合空间里的一个点 $\mu$；配分函数、自由能、关联长度都只是 $\mu$ 的函数。

一步变换：粗粒化 + 重标

RG 的想法：临界点附近 $\xi \to \infty$（01-相变现象与临界指数），系统在各个长度尺度上看起来都一样，那就主动换一个更粗的尺度去看它，再看耦合常数怎么变。一步变换（尺度因子 $b>1$）做两个动作：

1. 粗粒化：把短距离的细节平均/求和掉，只保留比格距粗 $b$ 倍以上的长程信息，同时让配分函数（即长程物理）保持不变。
2. 重标：粗粒化后格距变成原来的 $b$ 倍，再把长度单位缩小 $b$ 倍，使新格子看上去和原来一样密。

最朴素的实例就是 一维伊辛抽取RG 里的”抽取”：对一维链每隔一个自旋求和（把奇数格点的 $s_i$ 加掉），剩下的偶数格点重新构成一条同样形式的链，只是近邻耦合从 $K$ 变成

$K^{\prime }=\frac{1}{2}\ln \cosh 2K.$

求和掉一半自旋 = 粗粒化（$b=2$），剩下的链 = 重标后的新系统。关键就在”同样形式”：变换后还是同一类模型，只是耦合常数换了一组值。一般地写成映射

$\boxed{{\mu }^{\prime }=R_b(\mu ).}$

反复迭代 $R_b$，就在耦合空间里走出一条流（一串点 $\mu \to {\mu }^{\prime }\to {\mu }^{\prime \prime }\to \cdots$）；每迭代一步，我们观察系统的尺度就放大 $b$ 倍。

关联长度怎么变

关联长度 $\xi$ 是一个真实的物理长度（关联函数与关联长度）。粗粒化不改变它（物理没变），但重标把长度单位缩小了 $b$ 倍，所以用新单位量出来的 $\xi$ 是原来的 $1/b$：

$\boxed{\xi (\mu )=b\xi (R_b(\mu )).}$

即”每做一步 RG，以格距为单位的关联长度缩小 $b$ 倍”。第五站的全部分析，就从这条关系和映射 $R_b$ 出发。