04-标度假设与普适性

标度假设与普适性

奇异自由能

自由能密度分成解析的背景部分与非解析部分：$f(t,h)=f_{\mathrm{reg}}+f_s$。临界发散全部来自 $f_s$（$C=-{\partial }_t^{2}f$ 里，只有 $-{\partial }_t^2{f}_s\sim |t{|}^{-\alpha }$ 是发散的）。

$f_s$ 的非解析性来自对序参量取极小这一步，而非朗道展开本身。朗道自由能 $f(\eta )=a_{0}t{\eta }^2+b{\eta }^4$ 作为 $\eta$ 的函数是光滑的，但真正的热力学自由能是对 $\eta$ 取极小的结果 $f_{\mathrm{phys}}(t)={\min }_{\eta }f$。分两种情况：$t>0$ 时极小点在 $\eta =0$，极小值为 $0$；$t<0$ 时极小点在 ${\eta }^2=-a_{0}t/2b$，代回得极小值 $-\frac{a_0^2}{4b}{t}^2$。两段并起来就是

$f_s(t)=-\frac{a_0^2}{4b}{t}^2\theta (-t),$

它在 $t=0$ 处非解析（二阶导跳变，故 $C$ 跳台阶，$\alpha =0$）。可对比 $\min (0,t)$：它在原点处有一个折点。对一族光滑函数逐点取极小（取下包络），正是这样在它们交接的地方造出非解析。

标度假设

$\boxed{f_s(t,h)={\ell }^{-d}{f}_s({\ell }^{y_t}t,{\ell }^{y_h}h)\forall \ell \ge 1.}$

它的来源（卡丹诺夫块自旋）：临界点处 $\xi =\infty$，系统没有特征长度，因而自相似。把格点分成边长 $\ell$ 的方块、每块用一个块自旋代表，得到的还是同一个模型，只是参数按幂律重新标定 $t^{\prime }={\ell }^{y_t}t,h^{\prime }={\ell }^{y_h}h$；自由能是广延量，一个块自旋顶替 ${\ell }^d$ 个原自旋，故密度被摊薄 ${\ell }^{-d}$ 倍。这种自相似的函数就是广义齐次函数（广义齐次函数，对应 $x\to t,y\to h$；因 $t,h$ 两个变量权重不同，故称”广义”）。

导出指数

取 $\ell =|t{|}^{-1/y_t}$，把第一个变量标度成 $\pm 1$，得 $f_s(t,h)=|t{|}^{d/y_t}{\Phi }_{\pm }(h/|t{|}^{y_h/y_t})$。再用 $\eta =-{\partial }_h{f}_s$、$\chi =-{\partial }_h^2{f}_s$、$C\sim -{\partial }_t^2{f}_s$：

$\alpha =2-\frac{d}{y_t},\beta =\frac{d-y_h}{y_t},\gamma =\frac{2y_h-d}{y_t},\delta =\frac{y_h}{d-y_h}.$

（求 $\delta$ 时令 $t=0$，改取 $\ell =h^{-1/y_h}$，得 $f_s(0,h)\sim h^{d/y_h}$。）关联性质方面：由 $\xi =\ell \xi ({\ell }^{y_t}t)$ 得 $\nu =1/y_t$，由场的重标度得 $\tilde{\eta }=d+2-2y_h$。六个指数全部由 $(y_t,y_h,d)$ 表出，其中独立的只有两个。

标度律

把上面的表达式代回，即可验证它们都是恒等式：

$\alpha +2\beta +\gamma =2,\gamma =\beta (\delta -1),\gamma =\nu (2-\tilde{\eta }),\nu d=2-\alpha .$

所以只需测准其中两个独立指数，其余的全部确定。

超标度与 $d=4$

$\nu d=2-\alpha$ 显式含 $d$。它的物理来源是 $f_s\sim {\xi }^{-d}$（每个关联体积 ${\xi }^d$ 贡献 $O(k_{B}T)$，即”一个关联体积一个自由度”），再结合 $f_s\sim |t{|}^{2-\alpha }$ 即可得到。平均场下 $\nu =\frac{1}{2},\alpha =0$，于是 $\nu d=d/2$ 而 $2-\alpha =2$，二者只在 $d=4$ 时相等——从标度的角度重新得到了上临界维度。那三条不含 $d$ 的标度律平均场都满足，唯独超标度律卡在 $d=4$（$d>4$ 时它被危险无关变量破坏，见 05-重整化群）。

数据塌缩

由 $\eta =-{\partial }_h{f}_s$ 得到状态方程的标度形式（其中 $\beta =(d-y_h)/y_t$，$\beta \delta =y_h/y_t$）：

$\frac{\eta (t,h)}{|t{|}^{\beta }}={\mathcal{F}}_{\pm }\left(\frac{h}{|t{|}^{\beta \delta }}\right).$

把不同 $t$ 的 $(\eta ,h)$ 按上式重标度后，所有点落到两条曲线 ${\mathcal{F}}_{\pm }$ 上（按 $t\gtrless 0$ 分支）。两个极限自洽：取自变量 $u\to 0$，${\mathcal{F}}_{-}(0)\ne 0$ 重现自发磁化 $\eta \sim (-t{)}^{\beta }$；取大自变量 $u\to \infty$，${\mathcal{F}}_{\pm }(u)\sim u^{1/\delta }$ 重现临界等温线 $\eta \sim h^{1/\delta }$（此时 $t$ 恰好消去）。可见临界等温线只是塌缩曲线在大自变量端的切片，所以 $\delta$ 虽然定义在 $t=0$ 处，检验数据塌缩却要用到多个不同的 $t$。关联函数同理：$G(r,t)=r^{-(d-2+\tilde{\eta })}\Psi (r/\xi )$。可分析的数据见 数据集-CrBr3标度。

普适性

指数只依赖空间维度 $d$ 与序参量的分量数 $n$（伊辛 $n=1$、XY $n=2$、海森堡 $n=3$），与微观细节无关：

普适类	$\beta$	$\gamma$	$\delta$	$\nu$
平均场 $d\ge 4$	$1/2$	$1$	$3$	$1/2$
2D 伊辛	$1/8$	$7/4$	$15$	$1$
3D 伊辛	$0.326$	$1.24$	$4.79$	$0.63$
3D XY	$0.35$	$1.32$	$4.78$	$0.67$
3D 海森堡	$0.37$	$1.40$	$4.78$	$0.71$

标度假设与普适性在这里仍然只是经验拟设。第五站将从重整化群把二者导出，并算出 $(y_t,y_h)$。