3D 伊辛：场论 RG（ε 展开与定维展开）

3D 实空间解析截断比 2D 更糟。主力换成场论 RG：把临界行为映成 ${\phi }^4$ 场论，在其上做微扰 + 重求和。两种排布微扰的方式：$\epsilon =4-d$ 展开、定维 $d=3$ 展开。

ε 展开：威尔逊–费希尔不动点

$n$ 分量 ${\phi }^4$ 的一圈耦合流（05-重整化群）：

$\frac{du}{d\ell }=\epsilon u-\frac{n+8}{8{\pi }^2}{u}^2+O(u^3),\epsilon =4-d.$

（前因子 $8{\pi }^2$ 随重整化约定而变，分母 $(n+8)$ 与物理指数才是普适的。）令 $\beta =0$ 得威尔逊–费希尔不动点 $u^{\ast }=\frac{8{\pi }^2\epsilon }{n+8}$，线性化给一圈指数

$y_t=2-\frac{n+2}{n+8}\epsilon ,\nu =\frac{1}{2}+\frac{n+2}{4(n+8)}\epsilon ,\tilde{\eta }=\frac{n+2}{2(n+8{)}^2}{\epsilon }^2.$

伊辛 $n=1$：$\nu =\frac{1}{2}+\frac{\epsilon }{12}$。问题是 3D 要 $\epsilon =1$，不小；级数还是渐近发散的。

重求和：把发散级数榨出数字

微扰系数 $a_k$ 阶乘式增长 $a_k\sim k!(-a{)}^k{k}^b$（大阶行为由瞬子型经典解控制，可独立算出）。Borel 重求和：先把 $a_k$ 除以 $k!$ 得到收敛的 Borel 级数 $B(s)=\sum a_k{s}^k/k!$，对它求和（借助已知的奇点位置作保形映射改善收敛），再做逆变换 $\sum a_k={\int }_0^{\infty }{e}^{-s}B(s)ds$。这样把发散级数变成可信数字。

定维 d=3 展开

另一种排布（Parisi 方案）：不展开 $\epsilon$，直接在 $d=3$ 把所有 RG 函数展成重整化耦合 $g$ 的幂级数，做到 6–7 圈，再同样 Borel 重求和。避开了”$\epsilon =1$ 偏大”的问题，往往更准。

重求和后的最佳值（$n=1,d=3$）

方案	$\nu$	$\tilde{\eta }$	$\gamma$	$\beta$	$\omega$
定维 $d=3$（GZJ 1998）	$0.6304(13)$	$0.0335(25)$	$1.2396(13)$	$0.3258(14)$	$0.799(11)$
$\epsilon$ 展开（GZJ 1998）	$0.6290(25)$	$0.0360(50)$	$1.2355(50)$	$0.3257(25)$	$0.814(18)$
定维（LGZJ 1980，奠基）	$0.630(2)$	$0.031(4)$	$1.241(2)$	$0.325(2)$	—

由此得 $\delta =\frac{5-\tilde{\eta }}{1+\tilde{\eta }}\approx 4.79$（05-重整化群 的组装公式）。这些就是”场论基准”。$\omega$ 是修正到标度的指数（来自最小的无关本征值），后面与自举有微小张力（3D伊辛-共形自举）。

文献：K. G. Wilson & J. Kogut, Phys. Rep. 12, 75 (1974)；J. C. Le Guillou & J. Zinn-Justin, Phys. Rev. B 21, 3976 (1980)；R. Guida & J. Zinn-Justin, J. Phys. A 31, 8103 (1998)（cond-mat/9803240，上表来源）。