3D 伊辛：泛函 RG（Wetterich 方程）

场论 RG（3D伊辛-场论RG-ε展开与定维展开）是微扰 + 重求和。泛函 RG（也叫非微扰 RG）走另一条：写下一个精确的流动方程，不依赖任何小量。

有效平均作用与精确流

引入一个随尺度 $k$ 变化的”有效平均作用” ${\Gamma }_k[\phi ]$：它只把动量 $\gtrsim k$ 的涨落积掉。两端是已知的——$k=\Lambda$（紫外）时没积任何涨落，${\Gamma }_{\Lambda }$ 就是裸作用；$k=0$ 时涨落全积完，${\Gamma }_0$ 就是完整的自由能。中间怎么连？由 Wetterich 方程精确给出：

$\boxed{{\partial }_t{\Gamma }_k=\frac{1}{2}\mathrm{STr}\left[\right({\Gamma }_k^{(2)}+R_k{)}^{-1}{\partial }_t{R}_k],t=\ln \frac{k}{\Lambda }.}$

${\Gamma }_k^{(2)}$ 是 ${\Gamma }_k$ 对场的二阶泛函导数（完整的逆传播子），$R_k$ 是把动量 $<k$ 的模式”冻住”的红外正规化子，$\mathrm{STr}$ 是对动量与内部指标求迹。这是一条泛函 ODE——是 RG的流是递推还是真正的流 里”真正的流”的极致版：不动点是一个不动点泛函 ${\Gamma }_{\ast }$（整条函数被钉死，而非几个耦合）。

导数展开：把泛函流变成可算

${\Gamma }_k$ 是无穷多耦合的泛函，得截断。最常用的是导数展开：按场的梯度幂次保留有限项，

${\Gamma }_k=\int d^{d}x[U_k(\phi )+\frac{1}{2}{Z}_k(\phi )(\nabla \phi {)}^2+\cdots ],$

到 $O({\partial }^2),O({\partial }^4),O({\partial }^6)$。注意它不是微扰小耦合，而是对涨落的非微扰重组——能在任意维直接做，不必 $\epsilon$ 小。代进 Wetterich 方程得 $U_k,Z_k$ 的流，求其标度不动点即威尔逊–费希尔不动点，线性化出指数。

结果（$n=1,d=3$）

逐阶收敛（De Polsi 等 2020）：

阶	$\nu$	$\tilde{\eta }$
$O({\partial }^2)$	$0.6278(22)$	$0.0450(87)$
$O({\partial }^4)$	$0.63027(30)$	$0.03454(176)$
$O({\partial }^6)$	$0.63017(20)$	$0.03581(49)$

推荐最佳值 $\nu =0.62989(25),\tilde{\eta }=0.03622(115),\omega =0.797(12)$——与场论、自举、蒙特卡洛相互一致（对比见 3D伊辛-共形自举）。关键进展（Balog 等 2019）是证明了导数展开有有限收敛半径、逐阶被一个小参数（约 $1/9\sim 1/4$）压低，故能给可靠误差棒。

文献：C. Wetterich, Phys. Lett. B 301, 90 (1993)；J. Berges, N. Tetradis & C. Wetterich, Phys. Rep. 363, 223 (2002)；I. Balog, H. Chaté, B. Delamotte, M. Marohnić & N. Wschebor, Phys. Rev. Lett. 123, 240604 (2019)；G. De Polsi, I. Balog, M. Tissier & N. Wschebor, Phys. Rev. E 101, 042113 (2020)。