2D伊辛-Migdal-Kadanoff递推

2D 伊辛：Migdal–Kadanoff 移键递推

抽取在 2D 关不上（2D伊辛-decimation与耦合爆炸）。Migdal–Kadanoff（MK）用一个聪明的近似——移键——把递推强行闭合成一元映射，且在某种分形格上精确。

移键的构造

直接对方格每隔一个自旋抽取，会把格子削得太弱（趋于一维）。MK 的补偿：抽取前先把将被破坏的键搬到留存的键上，让每条留存键加倍。在 $d$ 维，一条留存键吸收 $b^{d-1}$ 条邻键；$d=2,b=2$ 时加倍，耦合 $K\to 2K$。然后对这些加倍耦合的一维链做抽取。

抽取一维链（耦合 $\tilde{K}$、去掉中间一个自旋）的精确递推是 ${\tilde{K}}^{\prime }=\frac{1}{2}\ln \cosh 2\tilde{K}$（一维伊辛抽取RG）。代入移键后的 $\tilde{K}=2K$：

$\boxed{K^{\prime }=\frac{1}{2}\ln \cosh (4K)(d=2,b=2).}$

一般维：$K^{\prime }=\frac{1}{2}\ln \cosh (2\cdot 2^{d-1}K)$。移键在方格上是不受控的近似，但在对应的菱形/分级（Berker）分形格上严格成立，因而保证响应函数为正、物理自洽。

不动点与指数

不动点 $K^{\prime }=K$：$2K^{\ast }=\ln \cosh 4K^{\ast }$，即 $e^{2K^{\ast }}=\cosh 4K^{\ast }$，解得

$K^{\ast }\approx 0.305(\text{精确 }{K}_c=0.4407).$

（约定提醒：在对偶变量 $x=\tanh K$ 里同一方案的不动点常记作 $K^{\ast }\approx 0.609$；那是 $x^{\ast }\leftrightarrow e^{-2K^{\ast }}$ 的换标，物理与本征值不变。）

热本征值 $\Lambda =\frac{d{K}^{\prime }}{dK}{|}_{K^{\ast }}=2\tanh 4K^{\ast }\approx 1.679$，$b=2$：

$y_t=\frac{\ln \Lambda }{\ln 2}\approx 0.747,\nu =\frac{1}{y_t}\approx 1.34(\text{精确 }\nu =1).$

MK 把 $\nu$ 高估约 34%——精度平平，胜在闭合、可任意维迭代、且总给物理结果。

优劣与一处妙事

• $d=3$ 时 $K^{\ast }\approx 0.065,y_t\approx 0.934$，维度越高越差；MK 能给出正确的下临界维度 $d=1$（有限 $K$ 无非平凡不动点），却给不出上临界维度 $d_c=4$。
• 妙事（Kadanoff 1976）：把 Migdal 公式按各向异性重新诠释，竟能对所有 $J_x/J_y$ 重现 2D 伊辛的精确 $K_c$——近似里藏着一条精确线。

精确标尺见 2D伊辛-精确解与CFT基准；另一套实空间方案见 2D伊辛-NvL累积量展开。

文献：A. A. Migdal, Sov. Phys. JETP 42, 743 (1976)（相变；勿与 JETP 42, 413 的规范场递推混淆）；L. P. Kadanoff, Ann. Phys. 100, 359 (1976)；Maris & Kadanoff, Am. J. Phys. 46, 652 (1978)；逐行推导见 Kardar, Statistical Physics of Fields §V（式 V.51–V.54）。