关联函数与关联长度

从伊辛到金兹堡–朗道泛函

把格点分成边长 $\ell$（$a\ll \ell \ll \xi$）的元胞，元胞内自旋平均得局域磁化场 $\phi (\mathbf{r})$。对元胞内自旋求和（固定 $\phi$）得粗粒化自由能 $F[\phi ]$。$T_c$ 附近 $\phi$ 小且缓变，按 $\phi$ 与其梯度展开：翻转对称 $\phi \to -\phi$（$h=0$）只留偶次幂，局域性使梯度取最低阶 $(\nabla \phi {)}^2$，得

$F[\phi ]=\int d^{d}r[c(\nabla \phi {)}^2+a{\phi }^2+b{\phi }^4-h\phi ],a=a_{0}t,b,c>0.$

系数是 $T$ 的光滑函数，$a$ 在 $T_c$ 变号。这是 $\eta$（常数）升级为场 $\phi (\mathbf{r})$ 后的自由能。

关联函数（连通）

$G(\mathbf{r})=⟨\delta \phi (0)\delta \phi (\mathbf{r})⟩=⟨\phi (0)\phi (\mathbf{r})⟩-⟨\phi {⟩}^2,\delta \phi =\phi -⟨\phi ⟩.$

减 $⟨\phi {⟩}^2$ 是必要的：两点独立时 $⟨\phi (0)\phi (\mathbf{r})⟩=⟨\phi {⟩}^2$，连通形式恰为 $0$（无关联），裸乘积却非零。高温侧 $⟨\phi ⟩=0$，连通与裸乘积相等。$G$ 即两点涨落的协方差。

高斯近似下的 $G(\mathbf{k})$

取 $T>T_c$、$h=0$，$⟨\phi ⟩=0$，$\delta \phi =\phi$ 小，丢四次项留二次型。傅里叶展开 $\phi (\mathbf{r})={\sum }_{\mathbf{k}}{\phi }_{\mathbf{k}}{e}^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}$，梯度算符作用给出 $\nabla e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}=i\mathbf{k}{e}^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}$，再利用平面波的正交性把空间积分化成单重求和（不同 $\mathbf{k}$ 之间不耦合）：

$F={\sum }_{\mathbf{k}}(c{k}^2+a)|{\phi }_{\mathbf{k}}{|}^2.$

每个模式是独立高斯自由度，权重 $e^{-F/k_{B}T}$，由高斯积分 $⟨x^2⟩=\frac{k_{B}T}{2A}$（系数 $A=c{k}^2+a$）得

$⟨|{\phi }_{\mathbf{k}}{|}^2⟩=\frac{k_{B}T}{2(c{k}^2+a)}.$

模式独立 $\Rightarrow ⟨{\phi }_{\mathbf{k}}{\phi }_{{\mathbf{k}}^{\prime }}⟩$ 仅 ${\mathbf{k}}^{\prime }=-\mathbf{k}$ 非零，故 $G(\mathbf{r})={\sum }_{\mathbf{k}}⟨|{\phi }_{\mathbf{k}}{|}^2⟩e^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}$，即

$G(\mathbf{k})=\frac{k_{B}T}{2(c{k}^2+a)}.$

关联长度 $\xi$

写 $c{k}^2+a=c(k^2+{\xi }^{-2})$，

$\boxed{\xi =\sqrt{\frac{c}{a}}=\sqrt{\frac{c}{a_{0}t}}\propto |t{|}^{-1/2}}(\nu =\frac{1}{2}).$

$t\to 0$ 时 $\xi \to \infty$。

实空间形式与 $\tilde{\eta }$

反傅里叶 $G(\mathbf{r})=\int \frac{d^{d}k}{(2\pi {)}^d}\frac{k_{B}T/2c}{k^2+{\xi }^{-2}}{e}^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}$。$d=3$ 时可精确算出（先做角积分得到 $\frac{\sin kr}{kr}$，再用留数定理）：

$G(r)=\frac{k_{B}T}{8\pi c}\frac{e^{-r/\xi }}{r}.$

一般 $d$、大 $r$：$G(r)\sim e^{-r/\xi }/r^{(d-1)/2}$——$\xi$ 是指数衰减的特征长度。

临界点 $\xi =\infty$，指数因子消失，$G(r)\sim r^{-(d-2)}$。对照定义 $G\sim r^{-(d-2+\tilde{\eta })}$ 读出平均场 $\tilde{\eta }=0$（$\tilde{\eta }$ 度量相对 $d-2$ 的偏移，平均场无偏移）。注意 $d-2$ 是临界点的幂，$(d-1)/2$ 是大 $r$ 衰减区的幂，二者只在 $d=3$ 巧合相等。