2D 伊辛：精确解与 CFT 基准

2D 实空间 RG（2D伊辛-Migdal-Kadanoff递推、2D伊辛-NvL累积量展开）只给近似指数。它们的标尺是两样精确的东西：Onsager 解与临界点的共形场论。

Onsager 精确解

Onsager（1944）用传递矩阵精确解出零场方格伊辛的自由能，给出临界耦合

$K_c=\frac{1}{2}\ln (1+\sqrt{2})\approx 0.44069(\tanh K_c=\sqrt{2}-1),T_c\approx 2.2692J/k_B.$

精确临界指数（与维度 $d=2$ 锁定）：

$\alpha$	$\beta$	$\gamma$	$\delta$	$\nu$	$\tilde{\eta }$
$0$（对数）	$1/8$	$7/4$	$15$	$1$	$1/4$

（$\beta =1/8$ 的自发磁化由 Onsager 宣布、Yang 1952 首次发表。）这些满足 04-标度假设与普适性 的全部标度律，可作为任何近似法的判分线。

临界点 = 共形场论

临界点上 $\xi =\infty$、无标度，系统不仅标度不变，更是共形不变（标度不变加上局域伸缩）。在 2D，共形对称是无穷维的，约束极强，使 2D 伊辛临界点成为一个可精确求解的”极小模型”——等价于一个无质量的自由马约拉纳费米子。刻画它的一个普适数叫中心荷 $c=1/2$。

理论里每个标度算符（场）有一个标度维度 $\Delta$（即 05-重整化群 中场在重标下要乘的幂，这里给出精确值）。只三个基本算符：

算符	$\Delta$	临界指数角色
单位 $1$	$0$	—
自旋 $\sigma$	$1/8$	$\tilde{\eta }=2{\Delta }_{\sigma }=1/4$；$\beta =\nu {\Delta }_{\sigma }=1/8$
能量 $\epsilon$	$1$	$\nu =\frac{1}{d-{\Delta }_{\epsilon }}=1$；$\alpha =0$

指数全由两个相关算符（$\sigma$ 对应外场、$\epsilon$ 对应温度）的标度维度定出，正是 05-重整化群 里”指数 = 不动点本征值”的精确版：$y_h=d-{\Delta }_{\sigma }$、$y_t=d-{\Delta }_{\epsilon }$。验证 $\tilde{\eta }=2{\Delta }_{\sigma }-(d-2)=1/4$、$\nu =1/(2-1)=1$，与 Onsager 完全一致。

（共形场论的完整机器超出本笔记；这里只取”算符 + 标度维度 + 指数字典”的结论。它也是 3D 共形自举的出发点，见 3D伊辛-共形自举。）

文献：L. Onsager, Phys. Rev. 65, 117 (1944)；C. N. Yang, Phys. Rev. 85, 808 (1952)；A. A. Belavin, A. M. Polyakov & A. B. Zamolodchikov, Nucl. Phys. B 241, 333 (1984)（共形场论/极小模型）；教科书 J. Cardy, Scaling and Renormalization in Statistical Physics (1996)。