一维伊辛抽取RG

一维伊辛抽取 RG（精确算例）

模型与变换

一维伊辛链 $-\beta E=K{\sum }_i{s}_i{s}_{i+1}$，$K=J/k_{B}T$。抽掉奇数格点：$s_i$ 只耦合两邻居，对它求和

${\sum }_{s_i=\pm 1}{e}^{K{s}_i(s_{i-1}+s_{i+1})}=2\cosh (K(s_{i-1}+s_{i+1}))\stackrel{!}{=}A{e}^{K^{\prime }{s}_{i-1}{s}_{i+1}}.$

$s_{i\pm 1}$ 同号（和 $\pm 2$）：$2\cosh 2K=A{e}^{K^{\prime }}$；异号（和 $0$）：$2=A{e}^{-K^{\prime }}$。相除：

$\boxed{K^{\prime }=\frac{1}{2}\ln \cosh 2K.}$

格距翻倍（$b=2$）的精确 RG 映射。

不动点与流

$K^{\prime }=K$ 解：$K^{\ast }=0$；$K^{\ast }=\infty$。大 $K$ 时 $K^{\prime }\approx K-\frac{1}{2}\ln 2<K$；且对任意有限的 $K$，由 $\cosh 2K<\frac{1}{2}{e}^{2K}$ 可得 $K^{\prime }<K$。故迭代把任意有限 $K$ 都推向 $0$：

• $K^{\ast }=0$（$T=\infty$）稳定，吸引一切有限 $K$；
• $K^{\ast }=\infty$（$T=0$）不稳定。

结论

无有限 $K$ 的不动点 $\Rightarrow$ 无 $\xi =\infty$ 的临界点（除 $T=0$）：一维伊辛在 $T>0$ 不发生有序相变（$d=1$ 是伊辛的下临界维度）。关联长度由 $\xi (K)=2\xi (K^{\prime })$ 定，近 $K^{\ast }=\infty$ 处 $\xi \sim e^{2K}=e^{2J/k_{B}T}$，仅 $T\to 0$ 发散。

二维及以上会出现一个有限 $K^{\ast }$ 的不稳定不动点，那才是临界点；在它附近线性化给出临界指数（05-重整化群）。