要点总结

统计物理要点总结

这份整理来自 Excalidraw/thermal-terminal.md，目标不是重写教材，而是把原稿中的推导链条按正文笔记规则整理出来。原图总览如下：

阅读顺序

1. 先看 统计物理推导套路：后面多数题都是“数态密度 → 写配分函数 → 求热力学量”的同一套计算。
2. 再看 态密度与热波长：$g(k)$、$g(E)$、${\lambda }_{\mathrm{th}}$ 是后面所有气体模型的公共工具。
3. 经典极限从 经典理想气体 开始；量子统计从 量子理想气体 和 三维量子气体积分 开始。
4. 应用分支分别是 光子气体与黑体辐射、固体热容与声子、费米气体、Sommerfeld展开、玻色气体与BEC。
5. 相对论形式单独见 相对论量子气体，它和光子气体有直接联系。

热力学量速查

这里的 $Z$ 是正则配分函数，$\beta =\frac{1}{k_{B}T}$。

热力学量	符号	用 $\beta$ 和 $Z$ 表示	用 $T$ 和 $Z$ 表示
亥姆霍兹自由能	$F$	$F=-\frac{1}{\beta }\ln Z$	$F=-k_{B}T\ln Z$
内能	$U$	$U=-{\left(\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta }\right)}_{V,N}$	$U=k_B{T}^2{\left(\frac{\partial \ln Z}{\partial T}\right)}_{V,N}$
熵	$S$	$S=k_B\ln Z-k_B\beta {\left(\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta }\right)}_{V,N}$	$S=k_B\ln Z+k_{B}T{\left(\frac{\partial \ln Z}{\partial T}\right)}_{V,N}$
压强	$p$	$p=\frac{1}{\beta }{\left(\frac{\partial \ln Z}{\partial V}\right)}_{\beta ,N}$	$p=k_{B}T{\left(\frac{\partial \ln Z}{\partial V}\right)}_{T,N}$
化学势	$\mu$	$\mu =-\frac{1}{\beta }{\left(\frac{\partial \ln Z}{\partial N}\right)}_{\beta ,V}$	$\mu =-k_{B}T{\left(\frac{\partial \ln Z}{\partial N}\right)}_{T,V}$
定容热容	$C_V$	$C_V=k_B{\beta }^2{\left(\frac{{\partial }^2\ln Z}{\partial {\beta }^2}\right)}_{V,N}$	$C_V=\frac{\partial }{\partial T}\left[k_B{T}^2{\left(\frac{\partial \ln Z}{\partial T}\right)}_{V,N}\right]$
焓	$H$	$H=U+pV$	$H=U+pV$
吉布斯自由能	$G$	$G=F+pV$	$G=F+pV$
磁化强度	$M$	$M=\frac{1}{\beta }{\left(\frac{\partial \ln Z}{\partial H}\right)}_{\beta ,N}$	$M=k_{B}T{\left(\frac{\partial \ln Z}{\partial H}\right)}_{T,N}$

经典极限判据

对三维非相对论理想气体，逃逸度 $z=e^{\beta \mu }$ 在经典极限下满足

$$z\simeq n{\lambda }_{\mathrm{th}}^3={\left(\frac{{\lambda }_{\mathrm{th}}}{n^{-1/3}}\right)}^3.$$

因此 $z\ll 1$ 等价于 ${\lambda }_{\mathrm{th}}\ll n^{-1/3}$：热德布罗意波长远小于粒子平均间距，波包几乎不重叠，量子交换效应可以忽略。