固体热容与声子

原稿切片：

本页作为固体部分入口。这里和 统计物理推导套路 的气体问题很像：只是把“粒子能级”换成了“声子模”，把态密度换成 $\omega$ 空间里的模式密度。

$$\boxed{\omega (q)⟹g(\omega )⟹U,C_V}$$

两条正文链

• Einstein-Debye热容：先假设振动频率，再由声子配分和模式密度推出 $C_V$。
• 一维链声子色散：先由晶格运动方程求 $\omega (q)$，解释声学支和光学支从哪里来。

对比

Einstein 模型把全部模式都放在同一频率 ${\omega }_E$；Debye 模型保留低频连续谱，并用截止频率 ${\omega }_D$ 保证模式总数为 $3N$。

红色位置是两种模型真正不同的地方：

$$U=\int g(\omega )\hslash \omega \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{e^{\beta \hslash \omega }-1}\right)d\omega .$$

Einstein 模型相当于 $g(\omega )=3N\delta (\omega -{\omega }_E)$；Debye 模型相当于 $g(\omega )\propto {\omega }^2$，所以低温热容从指数衰减变成 $T^3$。