Einstein-Debye热容

原稿切片：

本页整理 固体热容与声子 中的热容模型。两种模型都把固体看成声子谐振子系统，差别只在模式密度 $g(\omega )$。

Einstein 模型

Einstein 模型假设所有声子振动频率相同，均为 ${\omega }_E$，所以固体等价于 $3N$ 个同频谐振子：

$$U=3N\hslash {\omega }_E\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{e^{\beta \hslash {\omega }_E}-1}\right).$$

令

$${\theta }_E=\frac{\hslash {\omega }_E}{k_B},x=\frac{{\theta }_E}{T}.$$

摩尔内能为

$$U_m=3R{\theta }_E\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{e^{{\theta }_E/T}-1}\right).$$

热容为

$$C_V=3N{k}_B\frac{x^2{e}^x}{(e^x-1{)}^2}.$$

高温下 $x\to 0$，$C_V\to 3N{k}_B$；低温下 $C_V$ 按 $e^{-{\theta }_E/T}$ 衰减。

Debye 模型

Debye 模型把低频声子近似成线性色散

$$\omega =v_{s}q.$$

三维声子有三支，因此模式密度写成

$$g(\omega )d\omega =\frac{3V{\omega }^2}{2{\pi }^2{v}_s^3}d\omega .$$

引入截止频率 ${\omega }_D$，要求总模式数为 $3N$：

$${\int }_0^{{\omega }_D}g(\omega )d\omega =3N.$$

于是

$$g(\omega )d\omega =\frac{9N}{{\omega }_D^3}{\omega }^{2}d\omega ,{\theta }_D=\frac{\hslash {\omega }_D}{k_B}.$$

内能保留原稿中的零点能项：

$$U={\int }_0^{{\omega }_D}g(\omega )\hslash \omega \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{e^{\beta \hslash \omega }-1}\right)d\omega .$$

零点能为

$$U_0=\frac{9}{8}N\hslash {\omega }_D.$$

热激发部分令 $x=\beta \hslash \omega$：

$$U_{\mathrm{th}}=9N{k}_{B}T{\left(\frac{T}{{\theta }_D}\right)}^3{\int }_0^{{\theta }_D/T}\frac{x^3}{e^x-1}dx.$$

热容为

$$C_V=9N{k}_B{\left(\frac{T}{{\theta }_D}\right)}^3{\int }_0^{{\theta }_D/T}\frac{x^4{e}^x}{(e^x-1{)}^2}dx.$$

低温时把上限近似为 $\infty$：

$${\int }_0^{\infty }\frac{x^4{e}^x}{(e^x-1{)}^2}dx=\frac{4{\pi }^4}{15}.$$

所以

$$C_V\simeq \frac{12{\pi }^4}{5}N{k}_B{\left(\frac{T}{{\theta }_D}\right)}^3.$$

这就是 Debye 的 $T^3$ 定律。