一维链声子色散

原稿切片：

本页说明 固体热容与声子 中的 $\omega (q)$ 从哪里来。先写晶格运动方程，再代入平面波试探解，最后由非零解条件得到色散关系。

单原子链

一维单原子链的运动方程为

$$m{\ddot{u}}_n=K(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n).$$

代入试探解

$$u_n=A{e}^{i(qna-\omega t)}$$

得到

$$-{\omega }^2=\frac{K}{m}(e^{iqa}+e^{-iqa}-2).$$

所以

$${\omega }^2=\frac{K}{m}(2-2\cos qa),\omega =2\sqrt{\frac{K}{m}}\left|\sin \frac{qa}{2}\right|.$$

这是一条声学支，长波极限下 $\omega \propto q$。

双原子链

双原子链有两个位移 $u_{2n-1},u_{2n}$，原稿写作

$$\{\begin{array}{l}m{\ddot{u}}_{2n+1}=K(u_{2n+2}+u_{2n}-2u_{2n+1}),\\ M{\ddot{u}}_{2n}=K(u_{2n+1}+u_{2n-1}-2u_{2n}).\end{array}$$

取

$$u_{2n+1}=A{e}^{i[(2n+1)qa-\omega t]},u_{2n}=B{e}^{i[2nqa-\omega t]}.$$

代入后得到关于 $A,B$ 的齐次方程。非零解要求系数行列式为零，给出

$${\omega }^2=K\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{M}\right)\pm K\sqrt{{\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{M}\right)}^2-\frac{4{\sin }^2(qa)}{mM}}.$$

$+$ 是光学支，$-$ 是声学支。这里出现两支，是因为一个原胞中有两个自由度。

和热容模型的关系

Einstein-Debye热容 直接假设了模式分布；本页从晶格动力学算出 $\omega (q)$。因此逻辑上是

$$\boxed{\text{运动方程}⟹\omega (q)⟹g(\omega ),C_V}.$$