量子理想气体

原稿切片：

本页只整理巨配分函数和平均占据数。把求和变成积分并推出宏观量，见 三维量子气体积分。

巨配分函数

令 $z=e^{\beta \mu }$。单粒子能级为 ${ϵ}_i$ 时，

$$\Xi =\prod _i\sum _{n_i}{e}^{n_i\beta (\mu -{ϵ}_i)}.$$

费米子：$n_i=0,1$，

$${\Xi }_i=1+z{e}^{-\beta {ϵ}_i},\ln \Xi =\sum _i\ln (1+z{e}^{-\beta {ϵ}_i}).$$

玻色子：$n_i=0,1,2,\cdots$，

$${\Xi }_i=\frac{1}{1-z{e}^{-\beta {ϵ}_i}},\ln \Xi =-\sum _i\ln (1-z{e}^{-\beta {ϵ}_i}).$$

统一记 $\eta =+1$ 为费米子，$\eta =-1$ 为玻色子，则

$$\ln \Xi =\frac{1}{\eta }\sum _i\ln (1+\eta z{e}^{-\beta {ϵ}_i}).$$

平均占据数

原稿用对 ${ϵ}_i$ 求导的方法：

$${\bar{n}}_i=-\frac{1}{\beta }\frac{\partial \ln \Xi }{\partial {ϵ}_i}.$$

代入统一形式，

$${\bar{n}}_i=-\frac{1}{\beta }\cdot \frac{1}{\eta }\frac{\eta z(-\beta )e^{-\beta {ϵ}_i}}{1+\eta z{e}^{-\beta {ϵ}_i}}=\frac{z{e}^{-\beta {ϵ}_i}}{1+\eta z{e}^{-\beta {ϵ}_i}}.$$

因此

$$\boxed{{\bar{n}}_i=\frac{1}{z^{-1}{e}^{\beta {ϵ}_i}+\eta }}.$$

上号是费米分布，下号是玻色分布。后续所有量子气体推导都从这个分布出发：

• 三维量子气体积分
• 费米气体
• 玻色气体与BEC
• 相对论量子气体