态密度与热波长

这张卡片只放公共工具，供 经典理想气体、量子理想气体、费米气体、玻色气体与BEC 反复引用。

三维 $k$ 空间态密度

边长为 $L$ 的三维盒子中，$k$ 空间每个量子态占据体积

$${\left(\frac{2\pi }{L}\right)}^3.$$

半径在 $k$ 到 $k+dk$ 的球壳体积为 $4\pi k^{2}dk$，所以

$$g(k)dk=\frac{4\pi k^{2}dk}{(2\pi /L{)}^3}=\frac{V{k}^2}{2{\pi }^2}dk.$$

若有自旋简并度 $g_{\mathrm{spin}}=2s+1$，就在右边再乘 $g_{\mathrm{spin}}$。

非相对论能量态密度

非相对论粒子满足

$$E=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m},dk=\frac{m}{{\hslash }^{2}k}dE.$$

代入上式得

$$g(E)dE=\frac{g_{\mathrm{spin}}V}{4{\pi }^2}{\left(\frac{2m}{{\hslash }^2}\right)}^{3/2}{E}^{1/2}dE.$$

所以三维非相对论气体的核心特征是 $g(E)\propto E^{1/2}$。

热德布罗意波长

单粒子正则配分函数为

$$Z_1={\int }_0^{\infty }{e}^{-\beta E(k)}g(k)dk=\frac{g_{\mathrm{spin}}V}{{\lambda }_{\mathrm{th}}^3},$$

其中

$${\lambda }_{\mathrm{th}}=\frac{h}{\sqrt{2\pi m{k}_{B}T}}.$$

它和平均粒子间距 $n^{-1/3}$ 的比较给出经典极限判据：

$$n{\lambda }_{\mathrm{th}}^3\ll 1.$$

相对论态密度

若 $E=pc=\hslash ck$，则 $dE=\hslash cdk$，于是

$$g(E)dE=\frac{g_{\mathrm{spin}}V}{2{\pi }^2(\hslash c{)}^3}{E}^{2}dE.$$

这就是 光子气体与黑体辐射 和 相对论量子气体 中 $T^4$ 能量定律的来源。