费米气体

原稿切片：

本页整理原稿的零温费米气体。公共量子统计公式见量子理想气体，低温修正见 Sommerfeld展开。

零温费米球

$T \to 0$ 时，费米子从低能态开始填充，直到费米能级 $E_{F}$ 。三维非相对论粒子满足

E_{F} = \frac{ℏ ^{2} k _{F}^{2}}{2 m} .

若自旋简并度为 $g_{spin} = 2 s + 1$ ，粒子数为

N = \int_{0}^{k_{F}} \frac{g _{spin} V k ^{2}}{2 π ^{2}} d k = \frac{g _{spin} V k _{F}^{3}}{6 π ^{2}} .

所以

k_{F} = (\frac{6 π ^{2} n}{g _{spin}})^{1/3}, E_{F} = \frac{ℏ ^{2}}{2 m} (\frac{6 π ^{2} n}{g _{spin}})^{2/3} .

零温下

μ (T = 0) = \frac{\partial E}{\partial N} = E_{F} .

三维非相对论态密度满足 $g (E) \propto E^{1/2}$ ，因此

U = \int_{0}^{E_{F}} E g (E) d E, N = \int_{0}^{E_{F}} g (E) d E .

两式相除：

\frac{U}{N} = \frac{\int _{0}^{E_{F}} E ^{3/2} d E}{\int _{0}^{E_{F}} E ^{1/2} d E} = \frac{3}{5} E_{F} .

所以

U = \frac{3}{5} N E_{F} .

非相对论气体满足 $p = \frac{2}{3} \frac{U}{V}$ ，因此

p = \frac{2}{5} n E_{F} .

因为 $E_{F} \propto n^{2/3} \propto V^{- 2/3}$ ，所以 $p \propto V^{- 5/3}$ 。体积模量为

B = - V (\frac{\partial p}{\partial V})_{N} = \frac{5}{3} p = \frac{2}{3} n E_{F} .

这条链的关键是 Pauli 填充，而不是热激发：

k_{F} ⟹ E_{F} ⟹ U, p, B .