光子气体与黑体辐射

原稿切片：

光子数不守恒，所以 $\mu =0$。本页按原稿保留两条推导：先用热力学关系得到 $u\propto T^4$，再用模式密度算出系数。

热力学关系推出 $u\propto T^4$

光子能量为 $\hslash \omega$，能量密度记为 $u$。辐射压满足

$$p=\frac{1}{3}u.$$

热力学恒等式

$${\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V-p$$

代入 $U=u(T)V$ 与 $p=u/3$，得到

$$u=\frac{T}{3}\frac{du}{dT}-\frac{u}{3}.$$

整理为

$$\frac{du}{u}=4\frac{dT}{T},u=a{T}^4.$$

若看单位面积单位时间穿出的能量通量，原稿写作

$$\Phi =\frac{1}{4}nc,j^{\star }=\frac{1}{4}nc\hslash \omega =\frac{1}{4}uc.$$

所以 $j^{\star }=\sigma T^4$。

模式密度和单模式能量

光子有两个偏振，且 $\omega =ck$，所以

$$g(\omega )d\omega =2\frac{V{k}^2}{2{\pi }^2}dk=\frac{V{\omega }^2}{{\pi }^2{c}^3}d\omega .$$

每个模式是一个谐振子：

$$Z_{\omega }=\sum _{n=0}^{\infty }{e}^{-\beta (n+1/2)\hslash \omega }=\frac{e^{-\beta \hslash \omega /2}}{1-e^{-\beta \hslash \omega }}.$$

平均能量为

$${\bar{E}}_{\omega }=-\frac{\partial \ln Z_{\omega }}{\partial \beta }=\hslash \omega \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{e^{\beta \hslash \omega }-1}\right).$$

黑体辐射的热能只取第二项。

统计积分给出系数

总热内能为

$$U={\int }_0^{\infty }g(\omega )\frac{\hslash \omega }{e^{\beta \hslash \omega }-1}d\omega .$$

令 $x=\beta \hslash \omega$，则

$$U=\frac{V}{{\pi }^2{c}^3}\frac{1}{{\beta }^4{\hslash }^3}{\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx.$$

用原稿里的积分

$${\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15},$$

得到

$$U=\frac{{\pi }^{2}V}{15{\hslash }^3{c}^3}(k_{B}T{)}^4,u=\frac{U}{V}.$$

因此

$$\sigma =\frac{c}{4}\frac{u}{T^4}=\frac{{\pi }^2{k}_B^4}{60{\hslash }^3{c}^2}.$$

谱分布为

$$u_{\omega }d\omega =\frac{\hslash {\omega }^3}{{\pi }^2{c}^3}\frac{d\omega }{e^{\beta \hslash \omega }-1},$$ $$u_{\lambda }d\lambda =\frac{8\pi hc}{{\lambda }^5}\frac{d\lambda }{e^{\beta hc/\lambda }-1}.$$

这页的模式密度来自 相对论态密度，整体套路对应 正则系综：粒子数固定。