统计物理推导套路

原稿后半部分反复使用同一条计算线：先确定单粒子态如何分布，再把微观态求和变成积分，最后从配分函数读出宏观量。

$$\boxed{\text{态密度 }g(E)⟹\text{配分函数 }Z\text{ 或 }\Xi ⟹U,N,p,F,S,C_V}$$

正则系综：粒子数固定

正则系综用于 经典理想气体、单个光子模式、Einstein 振子这类粒子数或振子数固定的问题。步骤是

$$Z_1={\int }_0^{\infty }{e}^{-\beta E}g(E)dE,Z_N=\frac{Z_1^N}{N!}.$$

然后用

$$U=-\frac{\partial \ln Z_N}{\partial \beta },F=-k_{B}T\ln Z_N,p=-{\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)}_{T,N}.$$

其中 $\frac{1}{N!}$ 是经典全同粒子的修正，是 经典理想气体 中熵和化学势能写对的关键。

巨正则系综：粒子数可变

量子气体更适合用巨正则系综。令 $z=e^{\beta \mu }$，对每个单粒子能级 ${ϵ}_i$，

$$\Xi =\prod _i\sum _{n_i}{e}^{n_i\beta (\mu -{ϵ}_i)}.$$

费米子只允许 $n_i=0,1$，玻色子允许 $n_i=0,1,2,\cdots$，所以

$$\ln \Xi =\{\begin{array}{ll}{\sum }_i\ln \left(1+z{e}^{-\beta {ϵ}_i}\right),& \text{费米子},\\ -{\sum }_i\ln \left(1-z{e}^{-\beta {ϵ}_i}\right),& \text{玻色子}.\end{array}$$

平均占据数统一写成

$${\bar{n}}_i=\frac{1}{z^{-1}{e}^{\beta {ϵ}_i}+\eta },\eta =\{\begin{array}{ll}+1,& \text{费米子},\\ -1,& \text{玻色子}.\end{array}$$

后面 量子理想气体、三维量子气体积分、费米气体、玻色气体与BEC 都是在这条公式线上换不同的 $g(E)$ 和不同的低温/高温近似。

对比时只盯三个位置

同样的积分形式里，真正需要比较的是三个红色位置：

$$\ln \Xi ={\int }_0^{\infty }g(E)\ln \left(1\pm z{e}^{-\beta E}\right)dE.$$

• 态密度不同：非相对论气体 $g(E)\propto E^{1/2}$，光子或相对论气体 $g(E)\propto E^2$，二维自由粒子 $g(E)$ 是常数。
• 统计符号不同：费米子用 $+$，玻色子用 $-$。
• 限制条件不同：光子数不守恒所以 $z=1$，费米气体低温要用 Sommerfeld展开，玻色气体要检查 二维为什么没有通常的 BEC。

这就是原稿中多个主题能互相对照的主线。