从配分函数导出热力学量
起点
Z=∑微观态 se−βEs,β=kBT1.
系综平均 ⟨X⟩=Z1∑sXse−βEs。
自由能（桥）
F=−kBTlnZ.
这是从微观 Z 到宏观热力学的桥，下面所有量都是 F（或 lnZ）的导数。
内能
⟨E⟩=Z1∑sEse−βEs=−∂β∂lnZ=F−T∂T∂F.
（末式即 E=−T2∂(F/T)/∂T，吉布斯–亥姆霍兹。）
熵
S=−∂T∂F=kB(lnZ+β⟨E⟩),
与 F=⟨E⟩−TS 自洽。
比热容
定容（或定场）热容 C=∂⟨E⟩/∂T。由 S=−∂F/∂T、C=T∂S/∂T：
C=∂T∂⟨E⟩=T∂T∂S=−T∂T2∂2F.
这就是”比热容与自由能的关系”：F 对温度的二阶导（乘 −T）。等价的涨落形式：∂⟨E⟩/∂β=−(⟨E2⟩−⟨E⟩2)，换温度
C=kBT2⟨E2⟩−⟨E⟩2(≥0).
（涨落形式的推导见 涨落-响应关系。）
共轭量：磁化、压强、磁化率
外场 h（与磁化 M 共轭，能量含 −hM）：⟨M⟩=kBT∂lnZ/∂h，即
M=−∂h∂F,χ=∂h∂M=−∂h2∂2F=kBT⟨M2⟩−⟨M⟩2.
体积 V（与压强共轭）：p=−∂V∂F。一般地，任何参量 X 的共轭量 =−∂F/∂X，其涨落 = 二阶导。
汇总
| 量 | 由 lnZ | 由 F=−kBTlnZ |
|---|
| 内能 ⟨E⟩ | −∂βlnZ | F−T∂TF |
| 熵 S | kB(lnZ+β⟨E⟩) | −∂TF |
| 比热 C | ∂β2lnZ/kBT2 | −T∂T2F |
| 磁化 M | kBT∂hlnZ | −∂hF |
| 磁化率 χ | kBT∂h2lnZ | −∂h2F |
| 压强 p | kBT∂VlnZ | −∂VF |
两点说明
- 密度版：本系列多用自由能密度 f=F/V；上述关系除以 V 即得（如比热密度 −T∂T2f）。朗道理论里极小化的就是 f(η)（02-平均场理论算出δ等于3）。
- ∂β↔∂T：β=1/kBT 给 ∂β=−kBT2∂T；lnZ 对 β 求导方便（直接出 ⟨E⟩、⟨E2⟩），F 对 T 求导方便（直接出 S,C）。