相对论量子气体

原稿切片：

本页整理原稿中相对论性量子统计的部分。公共符号沿用 量子理想气体。

态密度

相对论气体满足

$$E=pc=\hslash ck.$$

由三维 $k$ 空间态密度

$$g(k)dk=\frac{g_{\mathrm{spin}}V{k}^2}{2{\pi }^2}dk$$

和 $dE=\hslash cdk$，得到

$$g(E)dE=\frac{g_{\mathrm{spin}}V}{2{\pi }^2(\hslash c{)}^3}{E}^{2}dE.$$

注意对比 量子理想气体：非相对论时 $g(E)\propto E^{1/2}$，相对论时 $g(E)\propto E^2$。这是后面温度幂次不同的来源。

巨配分函数

用统一记号 $\eta =+1$ 表示费米子，$\eta =-1$ 表示玻色子：

$$\ln \Xi =\frac{1}{\eta }{\int }_0^{\infty }\ln (1+\eta z{e}^{-\beta E})g(E)dE.$$

对 $E^2\ln (1+\eta z{e}^{-\beta E})$ 分部积分，得到

$$\ln \Xi =\frac{g_{\mathrm{spin}}V}{{\pi }^2(\hslash c{)}^3}(k_{B}T{)}^3{\mathcal{F}}_4^{(\eta )}(z).$$

其中 ${\mathcal{F}}_{\nu }^{(\eta )}$ 的定义见 公共积分。

粒子数、内能、压强

粒子数为

$$N={\int }_0^{\infty }\frac{g(E)dE}{z^{-1}{e}^{\beta E}+\eta }=\frac{g_{\mathrm{spin}}V}{{\pi }^2(\hslash c{)}^3}(k_{B}T{)}^3{\mathcal{F}}_3^{(\eta )}(z).$$

内能为

$$U={\int }_0^{\infty }\frac{Eg(E)dE}{z^{-1}{e}^{\beta E}+\eta }=\frac{3g_{\mathrm{spin}}V}{{\pi }^2(\hslash c{)}^3}(k_{B}T{)}^4{\mathcal{F}}_4^{(\eta )}(z).$$

因此

$$pV=k_{B}T\ln \Xi ,p=\frac{1}{3}\frac{U}{V}.$$

这和 光子气体与黑体辐射 中的 $p=u/3$ 是同一个结构。

光子作为特例

光子数不守恒，所以 $z=1$；光子有两个偏振，所以 $g_{\mathrm{spin}}=2$；光子是玻色子，所以 $\eta =-1$。代入

$${\mathcal{F}}_4^{(-)}(1)=\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$$

得到

$$U=\frac{{\pi }^{2}V}{15{\hslash }^3{c}^3}(k_{B}T{)}^4.$$

这就是 统计积分给出系数 中的结果。