幺正算符与厄米算符的区别

幺正算符 vs 厄米算符

两者都是正规算符（$[\hat{A},{\hat{A}}^{†}]=0$），所以都能用一组正交完备本征基对角化；区别全在 $\hat{A}$ 与 ${\hat{A}}^{†}$ 的关系上，由此决定本征值落在哪里、保什么、在量子力学里扮演什么角色。

定义

• 厄米（自伴）：$\hat{A}={\hat{A}}^{†}$。见 量子力学中的Hilbert空间。
• 幺正：${\hat{U}}^{†}\hat{U}=\hat{U}{\hat{U}}^{†}=\hat{I}$，即 ${\hat{U}}^{†}={\hat{U}}^{-1}$。见 系统随时间的演化。

逐项对照

	厄米 $\hat{A}={\hat{A}}^{†}$	幺正 ${\hat{U}}^{†}={\hat{U}}^{-1}$
本征值	实数 $\lambda \in \mathbb{R}$	模为 1，$\lambda =e^{i\theta }$（$|\lambda |=1$）
本征矢	正交、完备	正交、完备
保什么	期望值 $⟨\hat{A}⟩$ 为实	保内积、保模长：$⟨\hat{U}\psi |\hat{U}\varphi ⟩=⟨\psi |\varphi ⟩$
QM 角色	可观测量（测量得本征值）	对称变换 / 态的演化（不改概率）

厄米算符一般不保模长（$\hat{A}$ 作用会改变态的长度，本征值是测量读数）；幺正算符一般没有实谱，它不是用来”测量”的，而是把态搬到另一个态、保持归一化（概率守恒）。

桥梁：指数映射

二者通过 $e^{i(\cdot )}$ 相联。若 $\hat{A}$ 厄米、$\theta \in \mathbb{R}$，则

$$\hat{U}=e^{i\theta \hat{A}}\text{是幺正的}({\hat{U}}^{†}=e^{-i\theta {\hat{A}}^{†}}=e^{-i\theta \hat{A}}={\hat{U}}^{-1}).$$

反过来（Stone 定理，见 动量和坐标）任意单参数幺正群都写成 $\hat{U}(t)=e^{-i\hat{G}t}$，生成元 $\hat{G}$ 厄米。量子力学里两个最重要的例子：

$$\text{时间演化}\hat{U}(t)=e^{-i\hat{H}t/\hslash }(\hat{H}\text{ 厄米}),\text{空间平移}\hat{T}(a)=e^{-i\hat{p}a/\hslash }(\hat{p}\text{ 厄米}).$$

口诀：厄米是”生成元/观测量”，幺正是”它指数化后的变换”。

三个判别用的具体例子（$2\times 2$）

• 厄米但非幺正：$\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$。本征值 $2,3$ 为实（厄米 ✓），但 ${\hat{A}}^{†}\hat{A}=\mathrm{diag}(4,9)\ne \hat{I}$（非幺正）。
• 幺正但非厄米：$\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$（转 $90^{\circ }$）。${\hat{U}}^{†}={\hat{U}}^{-1}$（幺正 ✓），但 ${\hat{U}}^{†}\ne \hat{U}$；本征值 $\pm i$（不实，故非厄米）。
• 既厄米又幺正：${\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$。本征值 $\pm 1$——既实又模 1，两条都满足。

最后一例点出二者的交集：一个算符同时厄米且幺正 $⟺$ 本征值既实又模 1，即 $\lambda \in \{+1,-1\}$，等价于 $\hat{A}={\hat{A}}^{†}$ 且 ${\hat{A}}^2=\hat{I}$（对合）。Pauli 矩阵 ${\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z$ 都属于这一类。