量子力学中的 Hilbert 空间

ket、bra 与对偶

定义 ket：$|\alpha ⟩$ 表示一个量子态，$\alpha$ 是态的标记。所有 ket 构成一个 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$。

记 bra $⟨\alpha |$ 为 ket 的对偶，则所有 bra 构成一个 Hilbert 空间 ${\mathcal{H}}^{\ast }$。ket、bra 之间互为对偶空间。

注意：这个对偶（记为 DC，对偶共轭）是反线性的，即

$$c_{\alpha }|\alpha ⟩+c_{\beta }|\beta ⟩\stackrel{\mathrm{DC}}{\to }{c}_{\alpha }^{\ast }⟨\alpha |+c_{\beta }^{\ast }⟨\beta |.$$

内积

内积的定义：$⟨\beta |\alpha ⟩$——$⟨\beta |$ 将 $|\alpha ⟩$ 映射为一个复数。基本性质：

$$⟨\beta |\alpha ⟩=⟨\alpha |\beta {⟩}^{\ast },⟨\alpha |\alpha ⟩\ge 0,⟨\gamma |(c_1|\alpha ⟩+c_2|\beta ⟩)=c_1⟨\gamma |\alpha ⟩+c_2⟨\gamma |\beta ⟩.$$

由此定义态矢量的模 $\Vert \alpha \Vert =\sqrt{⟨\alpha |\alpha ⟩}$；正交条件 $⟨\alpha |\beta ⟩=0$。

算符

算符：对态矢量的变换操作。线性算符满足

$$\hat{A}(|\alpha ⟩+|\beta ⟩)=\hat{A}|\alpha ⟩+\hat{A}|\beta ⟩,\hat{A}(c|\alpha ⟩)=c(\hat{A}|\alpha ⟩).$$

伴随算符 ${\hat{A}}^{†}$ 由 DC 定义：$\hat{A}|\alpha ⟩\stackrel{\mathrm{DC}}{\to }⟨\alpha |{\hat{A}}^{†}$。满足 $\hat{A}={\hat{A}}^{†}$ 的称自伴（厄米）算符（即 基础公设 中可观测量对应的算符）。

本征值为实数。 设 $\hat{A}|\alpha ⟩=a|\alpha ⟩$，由自伴性

$$⟨\alpha |\hat{A}|\alpha {⟩}^{\ast }=⟨\alpha |{\hat{A}}^{†}|\alpha ⟩=⟨\alpha |\hat{A}|\alpha ⟩\Rightarrow a^{\ast }\Vert \alpha {\Vert }^2=a\Vert \alpha {\Vert }^2,$$

故 $a$ 为实数。

不同本征值的本征矢正交。 设 $\hat{A}|\alpha ⟩=a|\alpha ⟩$，$\hat{A}|\beta ⟩=b|\beta ⟩$（$a,b$ 实）。一方面 $⟨\beta |\hat{A}|\alpha ⟩=a⟨\beta |\alpha ⟩$，另一方面 $⟨\beta |\hat{A}|\alpha ⟩=(⟨\alpha |\hat{A}|\beta ⟩{)}^{\ast }=b⟨\beta |\alpha ⟩$。若 $a\ne b$，则 $⟨\beta |\alpha ⟩=0$。

求一个算符的厄米共轭的方法

① 利用定义。离散基底：$({\hat{A}}^{†}{)}_{ij}={\hat{A}}_{ji}^{\ast }$；连续算符则逐对比较

$$⟨\beta |\hat{A}|\alpha ⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }{\beta }^{\ast }\hat{A}\alpha dx,⟨\alpha |{\hat{A}}^{†}|\beta ⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }{\alpha }^{\ast }{\hat{A}}^{†}\beta dx,$$

两边对照得出结果。

② 利用已知性质（如 $\hat{D}=\frac{d}{dx}$ 是反厄米的）：

$$(c\hat{A}{)}^{†}=c^{\ast }{\hat{A}}^{†},(\hat{A}+\hat{B}{)}^{†}={\hat{A}}^{†}+{\hat{B}}^{†},(\hat{A}\hat{B}{)}^{†}={\hat{B}}^{†}{\hat{A}}^{†},({\hat{A}}^{†}{)}^{†}=\hat{A}.$$

本征态、谱与期望值

当 $\hat{A}|\alpha ⟩=a|\alpha ⟩$（$a$ 为常数）时，称 $|\alpha ⟩$ 为 $\hat{A}$ 的本征态（该定义与测量公设相符）。简并：同一个 $a$ 可能有多个线性无关的归一化本征态，其个数称简并度。一个算符所有本征值的集合称为该算符的谱。

对应 $|\psi ⟩$ 测量，测得状态在 $|n⟩$ 的概率为 $P(a_n)=|⟨n|\psi ⟩{|}^2$，其中 $|\psi ⟩={\sum }_n{c}_n|n⟩$，$c_n=⟨n|\psi ⟩$。

期望值：力学量 $\hat{A}$ 在态 $|\psi ⟩$（归一化）的期望值定义为 $⟨\hat{A}⟩=⟨\psi |\hat{A}|\psi ⟩$。利用完备性

$$⟨\psi |\hat{A}|\psi ⟩=\sum _{n,n^{\prime }}⟨\psi |n^{\prime }⟩⟨n^{\prime }|\hat{A}|n⟩⟨n|\psi ⟩=\sum _n{a}_n|⟨n|\psi ⟩{|}^2,$$

即 $⟨\hat{A}⟩={\sum }_n{a}_n{P}_n$，与期望值的定义相符。

对易子

算符不满足乘法交换律，故引入对易子 $[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$。

① 厄米算符的对易子是反厄米的：

$$[\hat{A},\hat{B}{]}^{†}={\hat{B}}^{†}{\hat{A}}^{†}-{\hat{A}}^{†}{\hat{B}}^{†}=\hat{B}\hat{A}-\hat{A}\hat{B}=-[\hat{A},\hat{B}].$$

② 若两个算符 $[\hat{A},\hat{B}]=0$（即 $\hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A}$），则一定存在 $\hat{A}$、$\hat{B}$ 的共同本征态，且这组线性无关的共同本征态张成整个 Hilbert 空间（$\hat{A}$、$\hat{B}$ 可同时对角化）。

注：两个可观测量若对易 $[\hat{A},\hat{B}]=0$，其一组共同本征态张成 Hilbert 空间；若不足以张成，则需引入其他自伴算符 $\hat{C}$，满足 $[\hat{A},\hat{C}]=[\hat{B},\hat{C}]=0$。

不确定关系

给定可观测量 $\hat{A}$，对任意态 $|\psi ⟩$ 定义算符 $\Delta \hat{A}=\hat{A}-⟨\hat{A}⟩$（仍是厄米的），其涨落

$$⟨(\Delta \hat{A}{)}^2⟩=⟨{\hat{A}}^2-2\hat{A}⟨\hat{A}⟩+⟨\hat{A}{⟩}^2⟩=⟨{\hat{A}}^2⟩-⟨\hat{A}{⟩}^2.$$

引理（Schwarz 不等式） $⟨\alpha |\alpha ⟩⟨\beta |\beta ⟩\ge |⟨\alpha |\beta ⟩{|}^2$。 证：由 $(⟨\alpha |+c^{\ast }⟨\beta |)(|\alpha ⟩+c|\beta ⟩)\ge 0$，取 $c=-\frac{⟨\beta |\alpha ⟩}{⟨\beta |\beta ⟩}$ 即得。

利用 $\Delta \hat{A}$ 厄米，$⟨(\Delta \hat{A}{)}^2⟩=⟨\Delta \hat{A}\psi |\Delta \hat{A}\psi ⟩$，再用 Schwarz 不等式

$$⟨(\Delta \hat{A}{)}^2⟩⟨(\Delta \hat{B}{)}^2⟩\ge |⟨\Delta \hat{A}\psi |\Delta \hat{B}\psi ⟩{|}^2=|⟨\Delta \hat{A}\Delta \hat{B}⟩{|}^2.$$

而 $\Delta \hat{A}\Delta \hat{B}=\frac{1}{2}[\Delta \hat{A},\Delta \hat{B}]+\frac{1}{2}\{\Delta \hat{A},\Delta \hat{B}\}$（$\{\hat{A},\hat{B}\}=\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A}$ 是反对易子）。易证厄米算符的对易子期望值是纯虚数、反对易子期望值是实数，故

$$|⟨\Delta \hat{A}\Delta \hat{B}⟩{|}^2=\frac{1}{4}|⟨[\hat{A},\hat{B}]⟩{|}^2+\frac{1}{4}|⟨\{\Delta \hat{A},\Delta \hat{B}\}⟩{|}^2\ge \frac{1}{4}|⟨[\hat{A},\hat{B}]⟩{|}^2.$$

令 $\Delta a=\sqrt{⟨(\Delta \hat{A}{)}^2⟩}$，$\Delta b=\sqrt{⟨(\Delta \hat{B}{)}^2⟩}$，则得不确定关系

$$\Delta a\Delta b\ge \frac{1}{2}|⟨[\hat{A},\hat{B}]⟩|.$$

如 $\Delta x\Delta p\ge \frac{1}{2}|⟨[\hat{x},\hat{p}]⟩|=\frac{\hslash }{2}$。

注：$\Delta E\Delta t\ge \frac{\hslash }{2}$ 中的 $\Delta t$ 不是同一个含义（没有时间算符），这里 $\Delta t=\frac{\Delta E}{\left|\frac{d⟨E⟩}{dt}\right|}$。