动量和坐标

动量是空间平移群的生成元

Stone’s Theorem：任意单参数幺正群都可以写成指数形式

$$\hat{T}(a)=e^{-\frac{i}{\hslash }\hat{p}a}.$$

物理上，考虑到空间平移对称性，定义动量为空间平移群的生成元，$\hat{p}=\hslash \hat{k}$。

现考虑空间平移算符对坐标 $\hat{x}$ 的影响。如果我们将整个系统平移了 $a$，那么该系统在空间的位置期望也必须平移 $a$，即

$$⟨\psi |{\hat{T}}^{†}(a)\hat{x}\hat{T}(a)|\psi ⟩=⟨\psi |\hat{x}+a\hat{I}|\psi ⟩\Rightarrow {\hat{T}}^{†}(a)\hat{x}\hat{T}(a)=\hat{x}+a\hat{I}.$$

代入 $\hat{T}(a)=e^{-\frac{i}{\hslash }\hat{p}a}$，有 $e^{\frac{i}{\hslash }\hat{p}a}\hat{x}{e}^{-\frac{i}{\hslash }\hat{p}a}=\hat{x}+a\hat{I}$。考虑 $a\to 0$ 时，

$$(1+\frac{i}{\hslash }\hat{p}a)\hat{x}(1-\frac{i}{\hslash }\hat{p}a)=\hat{x}+a\hat{I}\Rightarrow \hat{x}-\frac{i}{\hslash }a[\hat{x},\hat{p}]=\hat{x}+a\hat{I},$$

得到正则对易关系

$$[\hat{x},\hat{p}]=\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x}=i\hslash \hat{I}.$$

坐标表象下的动量算符

在坐标表象下，波函数定义为 $\psi (x)=⟨x|\psi ⟩$。对系统做无穷小空间平移 $ϵ$，新状态 $|{\psi }^{\prime }⟩=\hat{T}(ϵ)|\psi ⟩$。

物理图像：系统整体向右移 $ϵ$，则新波函数在 $x$ 处的值等于原波函数在 $x-ϵ$ 处的值，故 $⟨x|{\psi }^{\prime }⟩=\psi (x-ϵ)$。右侧泰勒展开到一阶：

$$\psi (x-ϵ)=\psi (x)-ϵ\frac{\partial \psi (x)}{\partial x}+\mathcal{O}({ϵ}^2).$$

另一方面用生成元展开 $|{\psi }^{\prime }⟩\approx (\hat{I}-\frac{iϵ}{\hslash }\hat{p})|\psi ⟩$，两边夹 $⟨x|$：

$$⟨x|{\psi }^{\prime }⟩=\psi (x)-\frac{iϵ}{\hslash }⟨x|\hat{p}|\psi ⟩.$$

对比一阶项、消去 $\psi (x)$ 并约去 $-ϵ$，再两边同乘 $-i\hslash$：

$$\boxed{⟨x|\hat{p}|\psi ⟩=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x}\psi (x).}$$

思考：我们平常说的 $\hat{p}=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x}$ 其实是 $⟨x|\hat{p}|\psi ⟩=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x}⟨x|\psi ⟩$。这里 $\hat{p}$ 是算符（表象无关），而 $-i\hslash \frac{\partial }{\partial x}$ 不是抽象 Hilbert 空间的算符，它是具体空间 $L^2(\mathbb{R})$ 上的算符——只是一种简写。因此当讨论范围不局限于 $L^2$ 时（比如下面比较动量表象与坐标表象），不能把它直接看成算符 $\hat{p}$。

三维情况（做题、后面分析氢原子要用）

$$[{\hat{x}}_i,{\hat{x}}_j]=[{\hat{p}}_i,{\hat{p}}_j]=0,[{\hat{x}}_i,{\hat{p}}_j]=i\hslash {\delta }_{ij},$$ $${\hat{p}}_i=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x_i},\text{即}\vec{\hat{p}}=-i\hslash \nabla .$$

常用对易恒等式

$$[\hat{r},f(\hat{p})]=i\hslash {\nabla }_{p}f(\hat{p}),[\hat{p},f(\hat{r})]=-i\hslash \nabla f(\hat{r}).$$

与 Hamiltonian $\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+V(\hat{r})$ 的关系

$$[\hat{r},\hat{H}]=i\hslash \frac{\hat{p}}{m},[\hat{p},\hat{H}]=-i\hslash \nabla V(\hat{r}).$$

动量、坐标表象的转换

$$\Psi (x,t)=⟨x|\psi ⟩,\Phi (p,t)=⟨p|\psi ⟩,$$ $$⟨p|\psi ⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }⟨p|x⟩⟨x|\psi ⟩dx,⟨x|\psi ⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }⟨x|p⟩⟨p|\psi ⟩dp.$$

核心是求 $⟨x|p⟩=⟨p|x{⟩}^{\ast }$。考虑

$$⟨x|\hat{p}|p⟩=p⟨x|p⟩=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x}⟨x|p⟩\Rightarrow ⟨x|p⟩=C{e}^{ipx/\hslash }.$$

由归一化 $⟨p^{\prime }|p⟩=\delta (p^{\prime }-p)$：

$${\int }_{-\infty }^{\infty }|C{|}^2{e}^{-i{p}^{\prime }x/\hslash }{e}^{ipx/\hslash }dx=|C{|}^{2}2\pi \delta \left(\frac{p-p^{\prime }}{\hslash }\right)=|C{|}^{2}2\pi \hslash \delta (p-p^{\prime })=\delta (p^{\prime }-p),$$

得 $C=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}$。故

$$⟨x|p⟩=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}{e}^{ipx/\hslash },⟨p|x⟩=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}{e}^{-ipx/\hslash }.$$