2D伊辛-decimation与耦合爆炸

2D 伊辛抽取：耦合爆炸与截断

一维抽取后还是同形式的链，递推闭合（一维伊辛抽取RG）。二维一抽取就关不上：本站精确算出”抽掉一个自旋会生出哪些新耦合”，这就是实空间 RG 在 $d\ge 2$ 的根本困难。

抽一个中心自旋，长出三种耦合

方格点上抽掉中心自旋 ${\sigma }_0$，它耦合四个邻居 ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3,{\sigma }_4$（绕中心一圈）：

${\sum }_{{\sigma }_0=\pm 1}{e}^{K{\sigma }_0({\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3+{\sigma }_4)}=2\cosh [K({\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3+{\sigma }_4)].$

右边只依赖四自旋之和，对它们完全对称，故无法只用一个近邻耦合表示。把它重新写成指数形式，必须同时容纳三类耦合：四条边的近邻 $K^{\prime }$、两条对角的次近邻 $L^{\prime }$、一个四自旋 $M^{\prime }$：

$2\cosh [K\sum {\sigma }_i]=A\exp [K^{\prime }{\sum }_{\text{边}}{\sigma }_i{\sigma }_j+L^{\prime }{\sum }_{\text{对角}}{\sigma }_i{\sigma }_k+M^{\prime }{\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_3{\sigma }_4].$

解出系数（完整匹配）

四自旋之和 $\sum {\sigma }_i\in \{\pm 4,\pm 2,0\}$，按构型分四类，逐一让两边相等（记 $a=\ln A$）：

构型	边和	对角和	四自旋	左边
全同向	$4$	$2$	$+1$	$2\cosh 4K$
三同一异	$0$	$0$	$-1$	$2\cosh 2K$
两两相邻	$0$	$-2$	$+1$	$2$
两两对角	$-4$	$2$	$+1$	$2$

得四个方程：$a+4K^{\prime }+2L^{\prime }+M^{\prime }=\ln 2\cosh 4K$；$a-M^{\prime }=\ln 2\cosh 2K$；$a-2L^{\prime }+M^{\prime }=\ln 2$；$a-4K^{\prime }+2L^{\prime }+M^{\prime }=\ln 2$。后两式相减给 $K^{\prime }=L^{\prime }$（单点贡献），代入解得单点系数

$K_{\mathrm{单}}^{\prime }=L_{\mathrm{单}}^{\prime }=\frac{1}{8}\ln \cosh 4K,M^{\prime }=\frac{1}{8}\ln \cosh 4K-\frac{1}{2}\ln \cosh 2K.$

几何重数 → 格点递推

抽掉的是一套棋盘格点（$b=\sqrt{2}$）；剩下的格点重组成边长 $\sqrt{2}$ 的新方格。新格上每条近邻键被两个中心的贡献叠加（一对 $\sqrt{2}$ 间距的存活点有两个公共中心），对角键只一个中心贡献。乘上重数：

$\boxed{K^{\prime }=\frac{1}{4}\ln \cosh 4K,L^{\prime }=\frac{1}{8}\ln \cosh 4K,M^{\prime }=\frac{1}{8}\ln \cosh 4K-\frac{1}{2}\ln \cosh 2K.}$

一步就从”只有近邻 $K$“长出近邻、次近邻、四自旋三种耦合。再迭代，更远程、更高阶的耦合层出不穷——耦合空间无穷繁衍，递推关不上、解析解不了。（这种不闭合还牵涉严格的”RG 病态”：van Enter–Fernández–Sokal 证明抽取后的重整测度可非吉布斯。）

最朴素的截断

要往下算，只能人为截断：扔掉 $M^{\prime }$，把对角 $L^{\prime }$ 并进有效近邻（粗暴地把 $\sqrt{2}$ 对角键当近邻键），得闭合的一元递推

$K_{\mathrm{eff}}^{\prime }=K^{\prime }+L^{\prime }=\frac{3}{8}\ln \cosh 4K.$

不动点 $\frac{3}{8}\ln \cosh 4K^{\ast }=K^{\ast }$ 给 $K^{\ast }\approx 0.507$（精确 $K_c=0.4407$）；导数 $\frac{d{K}^{\prime }}{dK}{|}_{\ast }=\frac{3}{2}\tanh 4K^{\ast }\approx 1.449$，$b=\sqrt{2}$，故 $y_t=\frac{\ln 1.449}{\ln \sqrt{2}}\approx 1.07$，$\nu =1/y_t\approx 0.93$（精确 $\nu =1$）。截断越粗越不准——下一步换更聪明的截断方案（2D伊辛-Migdal-Kadanoff递推、2D伊辛-NvL累积量展开）。

文献：Maris & Kadanoff, Am. J. Phys. 46, 652 (1978)（此抽取/截断算例）；van Enter, Fernández & Sokal, J. Stat. Phys. 72, 879 (1993)（RG 病态）；推导逐行见 Kardar, Statistical Physics of Fields, §V（MIT 8.334）。