2D伊辛-NvL累积量展开

2D 伊辛：Niemeijer–van Leeuwen 累积量展开

另一套 2D 实空间 RG：在三角格上用”多数票”定块自旋，再用累积量展开算出递推。比移键（2D伊辛-Migdal-Kadanoff递推）更系统，指数也更准些。

块变换：多数票 + 微扰劈分

三角格按每三个自旋一格分块（去掉 $1/3$ 自由度，线性重标 $b=\sqrt{3}$）。块自旋由多数票定：${\sigma }^{\prime }=\mathrm{sign}({\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3)$。

RG 后的哈密顿量由”对所有与块自旋相容的微观构型求和”定义：$e^{-\beta H^{\prime }[{\sigma }^{\prime }]}={\sum }_{\sigma \to {\sigma }^{\prime }}{e}^{-\beta H[\sigma ]}$。把 $-\beta H$ 劈成块内与块间两部分：$-\beta H=-\beta H_0-U$。$H_0$（块内三角键）各块独立、可精确求和；$U$（块间键）当微扰，做累积量（联通团簇）展开：

$\beta H^{\prime }=-\ln ⟨e^{-U}{⟩}_0+\text{const}=⟨U{⟩}_0-\frac{1}{2}(⟨U^2{⟩}_0-⟨U{⟩}_0^2)+\cdots$

一阶递推（完整算出）

一阶只需 $⟨U{⟩}_0$：把每个块内自旋换成”给定多数票后的平均值”。单块给定多数为 $+$ 时，块内 4 个相容态（$+++$ 与三个 $++-$）的权重为 $e^{3K}$ 与 $e^{-K}$（三角三键的能量），故单自旋期望

$⟨\sigma ⟩=\frac{e^{3K}+e^{-K}}{e^{3K}+3e^{-K}}\equiv R(K).$

相邻两块间有 2 条块间键，每条键的两端各换成 $R(K){\sigma }^{\prime }$，于是

$\boxed{K^{\prime }=2KR(K{)}^2=2K{\left(\frac{e^{3K}+e^{-K}}{e^{3K}+3e^{-K}}\right)}^2.}$

不动点与指数

不动点要 $R(K^{\ast }{)}^2=\frac{1}{2}$，即 $R=1/\sqrt{2}$。令 $u=e^{4K}$，$\frac{u+1}{u+3}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 解得 $u=\frac{3-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$，故

$K^{\ast }=\frac{1}{4}\ln \frac{3-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}\approx 0.336(\text{精确三角 }{K}_c\approx 0.275).$

热本征值 $\frac{d{K}^{\prime }}{dK}{|}_{K^{\ast }}\approx 1.624$，$b=\sqrt{3}$：

$y_t=\frac{\ln 1.624}{\ln \sqrt{3}}\approx 0.883,\nu =\frac{1}{y_t}\approx 1.13,\alpha =2-\frac{2}{y_t}\approx -0.26(\text{精确 }0).$

磁场方向类似得 $y_h=\frac{\ln (3/\sqrt{2})}{\ln \sqrt{3}}\approx 1.37$（精确 $1.875$）。

高阶与诚实提醒

二阶累积量（带 3 个耦合）给 $y_t\approx 1.05$，惊人地接近精确 $1$——但 Kardar 明言这”多半是巧合”。第三阶显示累积量级数是渐近的、不收敛，阶数高未必更准。所以这类实空间 RG 给的是定性正确、定量平庸的指数；精确值仍归 Onsager 与 CFT（2D伊辛-精确解与CFT基准）。

文献：Th. Niemeijer & J. M. J. van Leeuwen, Phys. Rev. Lett. 31, 1411 (1973)；Physica 71, 17 (1974)；综述见 Domb & Green, Phase Transitions and Critical Phenomena 卷 6 (1976)；逐行推导见 Kardar §V（式 V.40–V.50）。