涨落–响应关系

引理

哈密顿量 $\mathcal{H}={\mathcal{H}}_0-\lambda A$（$\lambda$ 与可观测量 $A$ 共轭，在权重 $e^{-\beta \mathcal{H}}$ 指数中），$\beta =1/k_{B}T$。则

$\boxed{\frac{\partial ⟨A⟩}{\partial \lambda }=\beta (⟨A^2⟩-⟨A{⟩}^2).}$

证明. $⟨A⟩=\frac{1}{Z}{\sum }_c{A}_c{e}^{-\beta {\mathcal{H}}_{0,c}+\beta \lambda A_c}$，$Z={\sum }_c{e}^{-\beta {\mathcal{H}}_{0,c}+\beta \lambda A_c}$。${\partial }_{\lambda }{e}^{\beta \lambda A_c}=\beta A_c{e}^{\beta \lambda A_c}$，故 ${\partial }_{\lambda }Z=\beta Z⟨A⟩$。商求导：

$\frac{\partial ⟨A⟩}{\partial \lambda }=\beta \frac{{\sum }_c{A}_c^2{e}^{\cdots }}{Z}-\beta ⟨A⟩\frac{{\sum }_c{A}_c{e}^{\cdots }}{Z}=\beta (⟨A^2⟩-⟨A{⟩}^2).■$

磁化率 = 磁化涨落

$\mathcal{H}={\mathcal{H}}_0-h\Phi$，$\Phi ={\int }_V\phi d^{d}r$ 总序参量。取 $\lambda =h,A=\Phi$：

${\chi }_{\mathrm{tot}}=\frac{\partial ⟨\Phi ⟩}{\partial h}=\beta (⟨{\Phi }^2⟩-⟨\Phi {⟩}^2)=\beta {\int }_V{\int }_{V}G(\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime })d^{d}r{d}^d{r}^{\prime }.$

减项 $-⟨\Phi {⟩}^2$ 自动给出连通关联 $G$（不是裸乘积）。平移不变性下双重积分 $=V\int G{d}^{d}s$，单位体积

$\boxed{\chi =\frac{1}{k_{B}T}\int d^{d}rG(\mathbf{r}).}$

用高斯结果 $\int G=G(\mathbf{k}=0)=\frac{k_{B}T}{2a}$ 得 $\chi =\frac{1}{2a}\propto |t{|}^{-1}$，即 $\gamma =1$，与朗道理论直接算出的结果一致。

热容 = 能量涨落

$E$ 在 $e^{-\beta E}$ 中与 $\beta$ 共轭。由 $⟨E⟩=-{\partial }_{\beta }\ln Z$ 再求一次 $\beta$ 导：

$\frac{\partial ⟨E⟩}{\partial \beta }=-(⟨E^2⟩-⟨E{⟩}^2),C_V=\frac{\partial ⟨E⟩}{\partial T}=\frac{⟨E^2⟩-⟨E{⟩}^2}{k_B{T}^2}.$

与磁化率同出一个引理（$M$ 对 $h$、$E$ 对 $\beta$）。$⟨\cdots ⟩\ge 0$ 的方差给出 $\chi ,C_V\ge 0$。

临界点发散

$\chi =\frac{1}{k_{B}T}\int G$。$T\to T_c$ 时 $\xi \to \infty$，$G$ 长程化、$\int G$ 发散，故 $\chi$ 发散——磁化率发散的微观来源是关联涨落变长程。

（这些是静态（等时）涨落–响应；严格的涨落耗散定理是其动力学推广，把动态响应 $\chi (\omega )$ 的虚部与涨落谱相连，本系列不涉及。）