张量网络RG-Z张量化与TRG原理

张量网络 RG（一）：配分函数张量化与 TRG 原理

实空间 RG 在 2D/3D 的死穴是耦合爆炸（2D伊辛-decimation与耦合爆炸）——人为砍耦合既不受控又不准。张量网络 RG 换个表象：把配分函数写成张量的收缩，用奇异值分解（SVD）截断取代砍耦合，于是有了一个受控、可系统改进的实空间 RG。

把 Z 写成张量收缩（精确）

目标：把 $Z={\sum }_{\{s\}}\exp \left(K{\sum }_{⟨ij⟩}{s}_i{s}_j\right)$ 写成一堆相同局域张量的收缩。标准构造（delta 张量 + 键矩阵）：

• 每条键上放玻尔兹曼矩阵 $W_{s{s}^{\prime }}=e^{Ks{s}^{\prime }}$，即 $W=\left(\begin{array}{cc}{e}^K& e^{-K}\\ e^{-K}& e^K\end{array}\right)$；对称劈分 $W=Q{Q}^{\mathsf{T}}$，$Q=\sqrt{W}$，两端各吸收一半。
• 每个格点放一个 4 腿的 delta 张量 ${\delta }_{ijkl}=1$（当 $i=j=k=l$）否则 $0$（强制该点四条腿取同一自旋值）。

把 delta 与四条腿上的 $Q$ 缩起来，得统一的局域张量

$T_{abcd}={\sum }_{s=\pm 1}{Q}_{sa}{Q}_{sb}{Q}_{sc}{Q}_{sd},$

则 $Z=\mathrm{tTr}{\prod }_{i}T$ 精确成立，初始键维数 $D=2$（腿的取值数）。在张量被实际收缩之前，没有任何近似——所有相互作用都精确地编码在张量元里。

TRG：SVD 粗粒化（Levin–Nave 2007）

收缩整张网代价指数大，TRG 用粗粒化逐步缩小它：

1. SVD 分解：把每个 4 腿张量按两种方式重排成矩阵（如把腿 $(a,b)\mid (c,d)$ 分组），做奇异值分解 $M=U\Sigma V^{†}$（$\Sigma$ 对角、奇异值非负），把 $\Sigma$ 劈成 $\sqrt{\Sigma }\sqrt{\Sigma }$，得到两个 3 腿张量。两种分组给四个 3 腿块。
2. 改接 + 收缩：把每个旧张量换成相应的 3 腿块，绕一个面把四个块缩成一个新的 4 腿张量 $T^{\prime }$——结构不变，格点数减半。
3. 截断：上面每步 SVD 只保留最大的 $D$ 个奇异值，丢掉其余。

为什么这是受控的 RG

SVD 的”保留最大 $D$ 个奇异值”在 Frobenius 范数下是该腿的最优低秩近似：它自动留下权重最大的自由度组合，不必人手挑哪几个耦合。奇异值通常指数衰减，故截断误差小，且只有一个旋钮 $D$：$D\to \infty$ 单调收敛到精确。这正是它优于”砍耦合”的地方——后者无收敛旋钮、靠判断。一步 TRG = 一步 RG 变换 $R_b$（05-重整化群），尺度因子 $b=\sqrt{2}$。

这套粗粒化怎样在 3D 真流到不动点张量、并给出指数，见 张量网络RG-HOTRG解3D与TNR不动点。

文献：M. Levin & C. P. Nave, Phys. Rev. Lett. 99, 120601 (2007)（cond-mat/0611687）；构造与算法细节见 G. Evenbly, Phys. Rev. B 95, 045117 (2017) 及 tensornetwork.org/trg。