张量网络RG-HOTRG解3D与TNR不动点

张量网络 RG（二）：HOTRG 解 3D、TNR 取不动点

承 张量网络RG-Z张量化与TRG原理。本站回答两件事：张量 RG 凭什么能在 3D 工作（block-spin 做不到），以及它怎样真流到一个不动点张量、给出临界数据。也正面回应”3D 现在都用张量网络求解吗”。

为什么 3D 能（block-spin 不能）

• block-spin / 解析实空间 RG：每粗粒化一步生出新耦合（更远程、多自旋），耦合空间无穷繁衍，只能人手砍——无收敛旋钮、不准，3D 里繁衍更凶、更难（2D伊辛-decimation与耦合爆炸）。
• 张量 RG：所有生出的有效耦合都存在一个局域张量的张量元里；粗粒化从不问”留哪几个耦合”，而是做 SVD、保留最大的 $D$ 个方向（每条腿最优）。唯一旋钮 $D$ 控精度、可系统改进。

HOTRG：逐轴粗粒化 → 任意维

TRG 的面式分解是二维专属。HOTRG（Xie 等 2012）改用高阶 SVD（HOSVD），一次只沿一个方向把两层张量并起来、再把加倍的腿截回 $D$。因为每步只合一个方向，构造机械地推广到任意维，含 3D。代价高：$\sim O(D^{4d-1})$（3D 即 $D^{11}$），故可达的 $D$ 受限。

3D 立方伊辛结果（$D$ 取到 16）：

$T_c/J\approx 4.511544(\text{蒙卡 }4.5115232),U_c=-0.990842(3),\beta \approx 0.3295(D=14).$

后续把 $D$ 推大得 $T_c=4.51152469(1)$，与蒙卡符合到 8 位。临界温度极准，磁化指数 $\beta$ 尚可（金标准 $\approx 0.326$）。

TNR：除掉短程纠缠，取到真不动点

朴素 TRG 在临界点流不到干净的不动点张量：截断误差不断生成一种”角双线（CDL）“短程纠缠张量，它本身是 TRG 的不动点、会越积越多，把短程自由度冒充成长程。TNR（Evenbly–Vidal 2015）在每步插入解纠缠子（幺正变换）+ 等距映射，把这种短程纠缠除掉，于是临界点张量谱与尺度无关——真正的标度不变不动点张量出现了。Gilt-TNR（Hauru 等 2018）是更简的同类方案。

从 2D 不动点张量的转移矩阵读 CFT 数据，正是”流到不动点 → 线性化 → 临界数据”（05-重整化群）的张量实现：

量	精确	TRG	TNR
中心荷 $c$	$0.5$	$0.49982$	$0.50001$
${\Delta }_{\sigma }$	$0.125$	$0.12498$	$0.1250004$
${\Delta }_{\epsilon }$	$1$	$1.00055$	$1.00009$

“3D 现在都用张量网络”——不准确，有保留

张量 RG 确是现代实空间 RG 在 3D 真正可行的代表，活跃发展（ATRG、triad TRG 等更省的变体），这是解析 block-spin 做不到的成功。但它既非唯一、也非最精：

• 3D 最精的指数来自共形自举（3D伊辛-共形自举），蒙特卡洛也极精。
• 从 3D 不动点张量提取标度维度比 2D 难得多、精度差得多（2D 那套”除 CDL → 精确标度不变张量 → CFT 数据”在 3D 尚未干净搬过去，仍是开放问题）。

结论：3D 张量 RG 给出色的 $T_c$、尚可的 $\beta$；但精确的 3D 普适指数目前仍归自举与蒙卡。它是一条重要的现代实空间路线，不是”3D 的标准答案”。

文献：Z. Y. Xie 等, Phys. Rev. B 86, 045139 (2012)（HOTRG）；G. Evenbly & G. Vidal, Phys. Rev. Lett. 115, 180405 (2015)（TNR）；M. Hauru, C. Delcamp & S. Mizera, Phys. Rev. B 97, 045111 (2018)（Gilt-TNR）；D. Adachi, T. Okubo & S. Todo, Phys. Rev. B 102, 054432 (2020)（ATRG）。