广义齐次函数

定义

$f(x,y)$ 称广义齐次，若存在权 $a,b$ 使

$f({\lambda }^{a}x,{\lambda }^{b}y)=\lambda f(x,y)\forall \lambda >0.$

性质：塌缩成单变量函数

定义对任意 $\lambda$ 都成立，取 $\lambda =x^{-1/a}$（$x>0$），使第一个自变量化为 $1$：此时第一个自变量 ${\lambda }^{a}x=1$，第二个自变量 ${\lambda }^{b}y=y/x^{b/a}$，等式右边 $\lambda f=x^{-1/a}f(x,y)$，于是 $f(1,y/x^{b/a})=x^{-1/a}f(x,y)$，即

$\boxed{f(x,y)=x^{1/a}\mathcal{F}\left(\frac{y}{x^{b/a}}\right),\mathcal{F}(u)\equiv f(1,u).}$

两变量函数由幂律前因子 $x^{1/a}$ 乘单变量 $\mathcal{F}$ 决定。等价地：$f/x^{1/a}$ 对 $u=y/x^{b/a}$ 作图，所有 $(x,y)$ 落在同一条曲线 $\mathcal{F}$ 上。

导数

对 $y$ 求导：${\partial }_{y}f({\lambda }^{a}x,{\lambda }^{b}y)\cdot {\lambda }^b=\lambda {\partial }_{y}f$，即 ${\partial }_{y}f$ 仍广义齐次、次数降 $b$；对 $x$ 求导降 $a$。故各阶偏导都是幂律。

沿坐标轴

取 $\lambda =y^{-1/b}$ 得 $f(0,y)\propto y^{1/b}$；取 $\lambda =x^{-1/a}$ 并令 $y=0$ 得 $f(x,0)\propto x^{1/a}$。两个坐标方向各给出一条幂律。

算例

$f(x,y)=\sqrt{x^4+y^2}$：$f({\lambda }^{a}x,{\lambda }^{b}y)=\sqrt{{\lambda }^{4a}{x}^4+{\lambda }^{2b}{y}^2}=\lambda f$ 要求 $4a=2b=2$，即 $a=\frac{1}{2},b=1$。塌缩（$1/a=2,b/a=2$）：

$\sqrt{x^4+y^2}=x^2\sqrt{1+(y/x^2{)}^2}=x^2\mathcal{F}(u),u=y/x^2,\mathcal{F}(u)=\sqrt{1+u^2}.$