玻色气体与BEC

原稿切片：

本页整理原稿中玻色气体和 Bose-Einstein 凝聚 (BEC) 的部分。公共巨正则公式见 量子理想气体。

三维理想玻色气体

令

$${\lambda }_{\mathrm{th}}=\frac{h}{\sqrt{2\pi m{k}_{B}T}},g_{\mathrm{spin}}=2s+1,z=e^{\beta \mu }.$$

玻色积分记为

$$g_{\nu }(z)={\mathrm{Li}}_{\nu }(z)=\frac{1}{\Gamma (\nu )}{\int }_0^{\infty }\frac{x^{\nu -1}}{z^{-1}{e}^x-1}dx.$$

由 宏观量 得

$$N_{\mathrm{ex}}=\frac{g_{\mathrm{spin}}V}{{\lambda }_{\mathrm{th}}^3}{g}_{3/2}(z),U=\frac{3}{2}{k}_{B}T\frac{g_{\mathrm{spin}}V}{{\lambda }_{\mathrm{th}}^3}{g}_{5/2}(z).$$

这里写 $N_{\mathrm{ex}}$ 是因为 BEC 发生后，基态粒子数要单独拿出来。

临界温度

玻色气体要求 $0<z\le 1$。当 $z\to 1$ 时，激发态最多能容纳

$$N_{\mathrm{ex}}^{\max }=\frac{g_{\mathrm{spin}}V}{{\lambda }_{\mathrm{th}}^3}\zeta (3/2).$$

若总粒子数 $N$ 大于这个上限，多出的粒子进入基态。临界点由

$$N=\frac{g_{\mathrm{spin}}V}{{\lambda }_{\mathrm{th},\mathrm{c}}^3}\zeta (3/2)$$

给出，因此

$$T_c=\frac{2\pi {\hslash }^2}{m{k}_B}{\left[\frac{n}{g_{\mathrm{spin}}\zeta (3/2)}\right]}^{2/3}.$$

低于 $T_c$ 时 $z=1$，激发态粒子数为

$$N_{\mathrm{ex}}=N{\left(\frac{T}{T_c}\right)}^{3/2}.$$

所以凝聚份额是

$$\frac{N_0}{N}=1-{\left(\frac{T}{T_c}\right)}^{3/2}.$$

热内能为

$$U=\left(\frac{3}{2}N{k}_{B}T\right)\frac{\zeta (5/2)}{\zeta (3/2)}{\left(\frac{T}{T_c}\right)}^{3/2}.$$

二维为什么没有通常的 BEC

二维自由粒子满足

$$g(k)dk=\frac{A}{2\pi }kdk,E=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}.$$

由于

$$dE=\frac{{\hslash }^2}{m}kdk,$$

二维能量态密度为

$$g(E)dE=\frac{Am}{2\pi {\hslash }^2}dE.$$

它是常数。令 $z\to 1$ 时，激发态粒子数含有低能积分

$${\int }_0^{\infty }\frac{g(E)dE}{e^{\beta E}-1}.$$

在 $E\to 0$ 附近，分母 $e^{\beta E}-1\simeq \beta E$，所以积分像

$${\int }_0\frac{dE}{E}$$

一样发散。也就是说，二维激发态没有有限的最大容纳数，因此不会出现三维理想气体那种有限温度 BEC。