三维量子气体积分

原稿切片：

本页承接 量子理想气体，整理三维非相对论量子气体的积分细节。

公共积分

公共态密度来自 非相对论能量态密度：

$$g(E)dE=\frac{g_{\mathrm{spin}}V}{4{\pi }^2}{\left(\frac{2m}{{\hslash }^2}\right)}^{3/2}{E}^{1/2}dE.$$

巨配分函数从求和变成积分：

$$\ln \Xi =\frac{1}{\eta }{\int }_0^{\infty }\ln (1+\eta z{e}^{-\beta E})g(E)dE.$$

令

$$I={\int }_0^{\infty }\ln (1+\eta z{e}^{-\beta E})E^{1/2}dE.$$

对 $I$ 分部积分，边界项为零，并且

$$d\ln (1+\eta z{e}^{-\beta E})=-\frac{\eta \beta dE}{z^{-1}{e}^{\beta E}+\eta }.$$

所以

$$I=\frac{2}{3}\eta \beta {\int }_0^{\infty }\frac{E^{3/2}dE}{z^{-1}{e}^{\beta E}+\eta }.$$

代回前面的 $\frac{1}{\eta }$，$\eta$ 抵消。定义

$${\mathcal{F}}_{\nu }^{(\eta )}(z)=\frac{1}{\Gamma (\nu )}{\int }_0^{\infty }\frac{x^{\nu -1}}{z^{-1}{e}^x+\eta }dx.$$

于是

$$\ln \Xi =\frac{g_{\mathrm{spin}}V}{{\lambda }_{\mathrm{th}}^3}{\mathcal{F}}_{5/2}^{(\eta )}(z).$$

宏观量

粒子数：

$$N=\frac{g_{\mathrm{spin}}V}{{\lambda }_{\mathrm{th}}^3}{\mathcal{F}}_{3/2}^{(\eta )}(z).$$

内能：

$$U=\frac{3}{2}{k}_{B}T\frac{g_{\mathrm{spin}}V}{{\lambda }_{\mathrm{th}}^3}{\mathcal{F}}_{5/2}^{(\eta )}(z).$$

因此

$$pV=k_{B}T\ln \Xi ,U=\frac{3}{2}pV=\frac{3}{2}N{k}_{B}T\frac{{\mathcal{F}}_{5/2}^{(\eta )}(z)}{{\mathcal{F}}_{3/2}^{(\eta )}(z)}.$$

经典极限的一阶修正

当 $z\ll 1$，

$${\mathcal{F}}_{\nu }^{(\eta )}(z)=z-\eta \frac{z^2}{2^{\nu }}+O(z^3).$$

所以

$$\frac{{\mathcal{F}}_{5/2}^{(\eta )}(z)}{{\mathcal{F}}_{3/2}^{(\eta )}(z)}\simeq 1+\eta \frac{z}{2^{5/2}}.$$

于是

$$U\simeq \frac{3}{2}N{k}_{B}T\left(1+\eta \frac{z}{2^{5/2}}\right).$$

费米气体的一阶量子修正为正，玻色气体的一阶量子修正为负。