题06-方形拉普拉斯

题六·方形区域拉普拉斯（B 类模板）

抄题（$0\le x\le a,0\le y\le b$）：

$u_{xx}+u_{yy}=0,u_x{|}_{x=0}=0,u{|}_{x=a}=2y,u_y{|}_{y=0}=0,u_y{|}_{y=b}=0.$

四条边里只有 $x=a$ 一条非齐次，其余齐次 → 不必叠加，直接分离。 挑齐次方向的诀窍：选那条”两端都齐次”的轴做本征值。 这里 $y$ 轴两端都是齐次 Neumann。

1. $y$ 方向本征值问题

$Y^{\prime \prime }+\mu Y=0$，$Y^{\prime }(0)=Y^{\prime }(b)=0$（N–N）→ 查 本征值问题速查表（注意含零本征值）：

${\mu }_n=(\frac{n\pi }{b}{)}^2,Y_n=\cos \frac{n\pi y}{b},n=0,1,2,\dots (Y_0=1).$

2. $x$ 方向方程 + 齐次端

令 $u={\sum }_{n\ge 0}{X}_n(x)\cos \frac{n\pi y}{b}$，代回得 $X_n^{\prime \prime }-{\mu }_n{X}_n=0$，配 $X_n^{\prime }(0)=0$：

• $n=0$：$X_0^{\prime \prime }=0\Rightarrow X_0=A_0+B_{0}x$，$X_0^{\prime }(0)=0\Rightarrow X_0=A_0$。
• $n\ge 1$：$X_n=A_n\cosh \frac{n\pi x}{b}+B_n\sinh \frac{n\pi x}{b}$，$X_n^{\prime }(0)=0\Rightarrow B_n=0$。

故 $u=A_0+\sum _{n\ge 1}{A}_n\cosh \frac{n\pi x}{b}\cos \frac{n\pi y}{b}$。

3. 用 $x=a$ 边定系数（$2y$ 的余弦展开）

$u{|}_{x=a}=2y$。零模 $A_0=\frac{1}{b}{\int }_0^{b}2ydy=b$。对 $n\ge 1$，

$A_n\cosh \frac{n\pi a}{b}=\frac{2}{b}{\int }_0^{b}2y\cos \frac{n\pi y}{b}dy=\frac{4b[(-1{)}^n-1]}{n^2{\pi }^2}=\{\begin{array}{ll}0,& n\text{ 偶}\\ -\frac{8b}{n^2{\pi }^2},& n\text{ 奇}.\end{array}$

（用 ${\int }_0^{b}y\cos \frac{n\pi y}{b}dy=\frac{b^2[(-1{)}^n-1]}{n^2{\pi }^2}$，模方 ${\int }_0^b{\cos }^2=\frac{b}{2}$。）

4. 答案

$\boxed{u(x,y)=b-\sum _{n\text{ 奇}}\frac{8b}{n^2{\pi }^2\cosh \frac{n\pi a}{b}}\cosh \frac{n\pi x}{b}\cos \frac{n\pi y}{b}}$

题五同型但四边非全齐次 → 先按 齐次化三套路 套路 B 拆成两个”单边非齐次”子问题各做一遍再相加。