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第9章 分离变数法 习题（HW4）总览

这一章的每道题，核心动作都一样： 找到一个齐次方向 → 解它的本征值问题 → 按本征函数展开 → 定系数。 本章自包含，不需要先懂抽象理论；解 $X^{\prime \prime }+\lambda X=0$ 配边界、加三角函数正交，就够用。

先备的前置：题目里 $u{|}_{x=0}=0$、$u_x{|}_{x=l}=0$ 这些”边界条件”到底在说什么、 什么叫 Dirichlet/Neumann/齐次——见 边界条件类型。后面所有题都用到。

（想知道”为什么不同本征函数总是正交”这件事背后的统一道理，可看延伸 SL 理论——纯属选读，做题完全用不到。）

解定解问题的系统流程（背这个）

1. 认方程 + 认坐标系：波动 $u_{tt}=a^2{u}_{xx}$、热传导 $u_t=a^2{u}_{xx}$、位势 $\Delta u=0$；直角还是极坐标。
2. 预处理：化归到”齐次方程 + 齐次边界”。三种非齐次各有套路，见 齐次化三套路。
3. 挑齐次方向：哪个变量”方程齐次 + 两端边界齐次”，就对它做本征值问题 $X^{\prime \prime }+\lambda X=0$。
4. 解本征值问题：得本征函数 $\{X_n\}$、本征值 ${\lambda }_n$，直接查 本征值问题速查表。
5. 展开 + 代回：令 $u={\sum }_n{T}_n(t)X_n(x)$，代回方程得每个 $T_n$ 的常微分方程。
6. 定系数：用初始条件（或剩下那个边界）做傅里叶展开定 $T_n(0),T_n^{\prime }(0)$。

极坐标位势方程的分离结果（欧拉方程 + 角向周期）单独成卡：极坐标拉普拉斯。

18 题按方法分类（导航）

A 类·齐次方程 + 齐次边界（直接分离）

• 二（波动，Dirichlet–Neumann）、四（热传导，Neumann–Dirichlet）、三（带阻尼 $u_t$ 项）。

B 类·直角区域位势（二维拉普拉斯/泊松）

• 五、六（方形 $\Delta u=0$，非齐次边界）、十一（方形泊松 $u_{xx}+u_{yy}=-1$）。

C 类·极坐标位势 → 用 极坐标拉普拉斯

• 七（圆环 $\Delta u=0$）、九（半圆盘）。注：八虽在圆环里，但方程带源项是泊松方程（题面误印”拉普拉斯”），归 D 类，见 题08-圆环泊松。

D 类·非齐次方程（含源项） → 本征函数展开法，见 齐次化三套路 套路 A

• 十、十二、十三、十四、十五。

E 类·非齐次边界含时间 $t$ → 辅助函数凑边界，见 齐次化三套路 套路 C

• 十六、十七、十八。

物理建模：一（两端固定琴弦三角形初位移，自己写定解问题 → 化成第二题那类）。

题解进度

• 三大类模板已做：题02-波动直接分离（A 类）、题06-方形拉普拉斯（B 类）、题07-圆环拉普拉斯（C 类）
• 题03-带阻尼波动分离（A 类·含 $u_t$ 阻尼项，$T$ 方程用 阻尼振动ODE 特征方程法）
• 题05-方形拉普拉斯叠加（B 类·两边非齐次，叠加拆成两个单边子问题）
• 题08-圆环泊松（D 类·极坐标泊松，源项按角向分量拆，每个 $n$ 补特解）
• 待做：D 类非齐次方程（十/十二/十三/十四/十五）、E 类含时边界（十六/十七/十八），及一、九、十一

每道题单独成文、写到每一步；通用结果（本征值表、极坐标公式）只在卡片里放一次，题解里用 [[ ]] 链过去。