题05-方形拉普拉斯叠加

题五·方形拉普拉斯（两边非齐次 → 叠加分解）

抄题（$0\le x\le a,0\le y\le b$）：

$u_{xx}+u_{yy}=0,u{|}_{x=0}=0,u{|}_{x=a}=c(1-y),u{|}_{y=0}=c,u{|}_{y=b}=0.$

0. 你卡在哪（先纠错）

你设 $u=X(x)Y(y)$ 后想令 $X(a)=c(1-y)$——这步不成立：$X(a)$ 是 $X$ 在一点的取值（与 $y$ 无关的常数），不可能等于含 $y$ 的 $c(1-y)$。根因：分离变数要求”本征值方向”两端边界都齐次。这里 $x$ 方向在 $x=a$ 端非齐次、$y$ 方向在 $y=0$ 端也非齐次——四条边里有两条非齐次，没有任何一个方向两端全齐次，不能直接分离。

1. 叠加分解（题06-方形拉普拉斯 结尾预告的套路）

把非齐次分摊到两个子问题，每个只留一条非齐次边，从而各有一个全齐次方向。令 $u=u_1+u_2$：

子问题	$x=0$	$x=a$	$y=0$	$y=b$	全齐次方向
$u_1$	0	$c(1-y)$	0	0	$y$（D–D）
$u_2$	0	0	$c$	0	$x$（D–D）

相加还原四边（$x=a$：$c(1-y)+0$；$y=0$：$0+c$；其余 $0$）。✓

2. 解 $u_1$（全齐次方向是 $y$）

$y$ 两端 D–D → 查 本征值问题速查表：$Y_n=\sin \frac{n\pi y}{b}$。$x$ 方向 $X_n^{\prime \prime }-(\frac{n\pi }{b}{)}^2{X}_n=0$ 配 $X_n(0)=0$ → $X_n=\sinh \frac{n\pi x}{b}$。故

$u_1={\sum }_{n\ge 1}{A}_n\sinh \frac{n\pi x}{b}\sin \frac{n\pi y}{b}.$

$x=a$ 端 $\sum A_n\sinh \frac{n\pi a}{b}\sin \frac{n\pi y}{b}=c(1-y)$，正弦展开（平方范数 $\frac{b}{2}$）：

$A_n\sinh \frac{n\pi a}{b}=\frac{2}{b}{\int }_0^{b}c(1-y)\sin \frac{n\pi y}{b}dy=\frac{2c[1+(b-1)(-1{)}^n]}{n\pi }.$

3. 解 $u_2$（全齐次方向是 $x$）

$x$ 两端 D–D → $X_m=\sin \frac{m\pi x}{a}$。$y$ 方向 $Y_m^{\prime \prime }-(\frac{m\pi }{a}{)}^2{Y}_m=0$ 配 $Y_m(b)=0$ → 取 $Y_m=\sinh \frac{m\pi (b-y)}{a}$（用 $b-y$ 自动满足 $y=b$ 端为零）。故

$u_2={\sum }_{m\ge 1}{B}_m\sin \frac{m\pi x}{a}\sinh \frac{m\pi (b-y)}{a}.$

$y=0$ 端 $\sum B_m\sin \frac{m\pi x}{a}\sinh \frac{m\pi b}{a}=c$，常数 $c$ 的正弦展开：

$B_m\sinh \frac{m\pi b}{a}=\frac{2}{a}{\int }_0^{a}c\sin \frac{m\pi x}{a}dx=\frac{2c(1-(-1{)}^m)}{m\pi }=\{\begin{array}{ll}\frac{4c}{m\pi }& m\text{奇}\\ 0& m\text{偶}\end{array}.$

4. 答案

$\boxed{u=\sum _{n\ge 1}\frac{2c[1+(b-1)(-1{)}^n]}{n\pi \sinh \frac{n\pi a}{b}}\sinh \frac{n\pi x}{b}\sin \frac{n\pi y}{b}+\sum _{m\text{奇}}\frac{4c}{m\pi \sinh \frac{m\pi b}{a}}\sin \frac{m\pi x}{a}\sinh \frac{m\pi (b-y)}{a}}$

考纲提醒：直角坐标方形拉普拉斯本身不在你考纲（考纲里的 Laplace 是极坐标，见 极坐标拉普拉斯、考试第二题）。但这里”先诊断哪个方向两端齐次、多条非齐次边就叠加拆解”是通用方法，极坐标题照样用——这才是要带走的东西。