极坐标拉普拉斯

极坐标拉普拉斯方程的分离（圆/圆环/扇形通用卡）

二维拉普拉斯在极坐标 $(\rho ,\theta )$：

$\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial u}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\theta }^2}=0.$

令 $u=R(\rho )\Phi (\theta )$，分离得（分离常数记 $\mu$）：

${\Phi }^{\prime \prime }+\mu \Phi =0,{\rho }^2{R}^{\prime \prime }+\rho R^{\prime }-\mu R=0.$

角向 $\Phi$ 定本征值

• 整圆 / 圆环（$0\le \theta <2\pi$）：要求 $\Phi$ 以 $2\pi$ 周期 → $\mu =n^2$， ${\Phi }_n=\{\cos n\theta ,\sin n\theta \}$，$n=0,1,2,\dots$。
• 扇形 / 半圆盘（$0\le \theta \le \alpha$，两边给齐次边界）：当作 $[0,\alpha ]$ 上的本征值问题， 查 本征值问题速查表（如半圆 $\Phi (0)=\Phi (\pi )=0$ → $\mu =n^2,{\Phi }_n=\sin n\theta$）。

径向 $R$：欧拉方程，试 $R={\rho }^s$

代入 ${\rho }^2{R}^{\prime \prime }+\rho R^{\prime }-n^{2}R=0$ 得 $s(s-1)+s-n^2=0\Rightarrow s=\pm n$：

$R_n(\rho )=A_n{\rho }^n+B_n{\rho }^{-n}(n\ge 1),R_0=A_0+B_0\ln \rho (n=0).$

按区域取舍（关键，最易错）

区域	保留	删去	理由
圆内（含原点）	${\rho }^n$、常数	${\rho }^{-n}$、$\ln \rho$	原点不能发散
圆外	${\rho }^{-n}$、常数	${\rho }^n$、$\ln \rho$	无穷远有界
圆环	全留 ${\rho }^n,{\rho }^{-n},1,\ln \rho$	—	不含原点也不到无穷

通解形式（圆环）

$u(\rho ,\theta )=A_0+B_0\ln \rho +{\sum }_{n\ge 1}(A_n{\rho }^n+B_n{\rho }^{-n})\cos n\theta +(C_n{\rho }^n+D_n{\rho }^{-n})\sin n\theta .$

把两个 $\rho$ 边界条件按 $\cos n\theta ,\sin n\theta$ 比对，每个 $n$ 得一个 $2\times 2$ 线性方程组定系数。