本征值问题速查表

本征值问题速查表（$X^{\prime \prime }+\lambda X=0$ 配齐次边界）

下表里的 D / N / D–N 等记号、以及”齐次边界”是什么意思，先看 边界条件类型。

分离变量后总会落到 $X^{\prime \prime }+\lambda X=0$ 在 $[0,l]$ 上，配两端齐次边界。 $\lambda >0$ 才有非平凡解（$\lambda \le 0$ 时只有 $X\equiv 0$，验一下即可）。记 $\lambda ={\beta }^2$， $X=A\cos \beta x+B\sin \beta x$，代边界定 $\beta$。四种组合背下来：

边界条件	本征值 ${\lambda }_n$	本征函数 $X_n$	$n$ 取值
$X(0)=0,X(l)=0$（D–D）	${\left(\frac{n\pi }{l}\right)}^2$	$\sin \frac{n\pi x}{l}$	$1,2,\dots$
$X^{\prime }(0)=0,X^{\prime }(l)=0$（N–N）	${\left(\frac{n\pi }{l}\right)}^2$	$\cos \frac{n\pi x}{l}$	$0,1,2,\dots$
$X(0)=0,X^{\prime }(l)=0$（D–N）	${\left(\frac{(2n+1)\pi }{2l}\right)}^2$	$\sin \frac{(2n+1)\pi x}{2l}$	$0,1,2,\dots$
$X^{\prime }(0)=0,X(l)=0$（N–D）	${\left(\frac{(2n+1)\pi }{2l}\right)}^2$	$\cos \frac{(2n+1)\pi x}{2l}$	$0,1,2,\dots$

为什么 D 端配 $\sin$、N 端配 $\cos$：$\sin$ 在 0 处为 0（满足 Dirichlet），$\cos$ 在 0 处导数为 0（满足 Neumann）。 混合情形（D–N / N–D）半周期错开，本征值是”半整数” $\frac{(2n+1)\pi }{2l}$。

N–N 的零本征值要当心

N–N 时 ${\lambda }_0=0$ 对应 $X_0=1$（常数）也是本征函数，别漏。它在热传导里代表平均温度不衰减那一项。

用法

得到 $\{X_n\}$ 后，把待求函数展开 $u={\sum }_n{T}_n(t)X_n(x)$，代回 PDE。 $X_n$ 满足 $X_n^{\prime \prime }=-{\lambda }_n{X}_n$，于是 $u_{xx}$ 项就地变成 $-{\lambda }_n{X}_n$，把 PDE 降成每个 $T_n$ 的常微分方程。

正交性（定系数全靠它）——直接当工具用，这些三角函数的正交是可以现场积出来的：

${\int }_0^l{X}_m{X}_{n}dx=0(m\ne n),{\int }_0^l{X}_n^{2}dx=\frac{l}{2}(\text{N–N 的常数模 }{X}_0\text{ 例外，}{\int }_0^{l}1dx=l).$

于是 $u={\sum }_n{c}_n{X}_n$ 的系数 $c_n=\frac{{\int }_0^{l}u{X}_{n}dx}{{\int }_0^l{X}_n^{2}dx}$，就是普通的傅里叶系数。 （想知道”为什么任意边界组合下本征函数都正交”的统一原因，选读 SL 理论，做题不需要。）