例题：绝对值型的勒让德展开

（HW5 题二(3)(4)）两题都先拆成”$x$ 的部分（直接给 $P_1$）+ $|x|$”：

$f_{(3)}=\frac{x+|x|}{2}=\frac{1}{2}{P}_1+\frac{1}{2}|x|,f_{(4)}=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}|x|=\frac{3}{2}{P}_1-\frac{1}{2}|x|.$

（(4) 即分段 $x(x\ge 0),2x(x<0)$；验证：$x>0$ 时 $\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}x=x$，$x<0$ 时 $\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}x=2x$ ✓。）所以两题都只需 $|x|$ 的展开。

$|x|$ 展开（偶，只含偶次）

$a_{2k}=\frac{4k+1}{2}{\int }_{-1}^1|x|P_{2k}dx=(4k+1){\int }_0^{1}x{P}_{2k}dx.$

用递推 $x{P}_{2k}=\frac{(2k+1)P_{2k+1}+2k{P}_{2k-1}}{4k+1}$（Legendre Polynomials），约掉 $(4k+1)$：

$a_{2k}=(2k+1){\int }_0^1{P}_{2k+1}dx+2k{\int }_0^1{P}_{2k-1}dx(k\ge 1).$

代入 ${\int }_0^1{P}_{2k+1}$ 的闭式（Legendre Polynomials）。例 $a_2$：

$a_2=3{\int }_0^1{P}_3+2{\int }_0^1{P}_1=3(-\frac{1}{8})+2\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{8}.$

一般化简得闭式：

$\boxed{a_0=\frac{1}{2},a_{2k}=\frac{(-1{)}^{k+1}(4k+1)(2k-2)!}{2^{2k}(k-1)!(k+1)!}(k\ge 1)}$

前几项 $a_2=\frac{5}{8},a_4=-\frac{3}{16}$，即 $|x|=\frac{1}{2}{P}_0+\frac{5}{8}{P}_2-\frac{3}{16}{P}_4+\cdots$。

回代

$f_{(3)}=\frac{1}{4}{P}_0+\frac{1}{2}{P}_1+\frac{5}{16}{P}_2-\frac{3}{32}{P}_4+\cdots ,f_{(4)}=-\frac{1}{4}{P}_0+\frac{3}{2}{P}_1-\frac{5}{16}{P}_2+\frac{3}{32}{P}_4+\cdots .$

同类：例题-多项式的勒让德展开、例题-奇延拓平方的勒让德展开。