例题-奇延拓平方的勒让德展开

例题：$x^2$ 的奇延拓 $f=x|x|$ 的勒让德展开

（HW5 题二(2)）

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& 0\le x\le 1\\ -x^2,& -1\le x\le 0\end{array}=x|x|.$

设展开 + 宇称

$f$ 是奇函数 ⟹ 只含奇次：$f=\sum _{k=0}^{\infty }{C}_{2k+1}{P}_{2k+1}$。系数

$C_{2k+1}=\frac{4k+3}{2}{\int }_{-1}^{1}f{P}_{2k+1}dx=(4k+3){\int }_0^1{x}^2{P}_{2k+1}dx$

（被积函数为偶，折回半区间；$x>0$ 时 $f=x^2$）。

用 $x^2=\frac{2P_2+P_0}{3}$ 拆开

${\int }_0^1{x}^2{P}_{2k+1}dx=\frac{1}{3}(2{\int }_0^1{P}_2{P}_{2k+1}dx+{\int }_0^1{P}_{2k+1}dx).$

两块都是通用结果，直接查表：

• ${\int }_0^1{P}_2{P}_{2k+1}dx=\frac{(-1{)}^{k+1}(2k+1)(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})}{(2k-1)(k+2)2^{2k+2}}$（例题-半区间勒让德积分，$k=2$ 偶、$l=2k+1$ 奇）；
• ${\int }_0^1{P}_{2k+1}dx=\frac{(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})}{(k+1)2^{2k+1}}$（Legendre Polynomials）。

合并（关键一步）

提出公因子 $\frac{(-1{)}^{k+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})}{2^{2k+1}}$（注意 $(-1{)}^k=-(-1{)}^{k+1}$），括号内通分：

$\frac{2k+1}{(2k-1)(k+2)}-\frac{1}{k+1}=\frac{(2k+1)(k+1)-(2k-1)(k+2)}{(2k-1)(k+2)(k+1)}=\frac{3}{(2k-1)(k+2)(k+1)}$

（分子 $=(2k^2+3k+1)-(2k^2+3k-2)=3$）。这个 $3$ 恰好与前面的 $\frac{1}{3}$ 抵消：

$\frac{1}{3}{\int }_0^1{x}^2{P}_{2k+1}dx=\frac{(-1{)}^{k+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})}{(2k-1)(k+1)(k+2)2^{2k+1}}.$

乘回 $(4k+3)$：

$\boxed{C_{2k+1}=\frac{(-1{)}^{k+1}(4k+3)(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})}{(2k-1)(k+1)(k+2)2^{2k+1}}},f={\sum }_{k=0}^{\infty }{C}_{2k+1}{P}_{2k+1}.$

核对

$C_1$（$k=0$）$=\frac{-3\cdot 1}{(-1)(1)(2)\cdot 2}=\frac{3}{4}$；$C_3$（$k=1$）$=\frac{7\cdot 2}{(1)(2)(3)\cdot 8}=\frac{7}{24}$。与逐项直接积分一致 ✓。

同类：例题-多项式的勒让德展开、例题-绝对值型的勒让德展开。