例题：多项式的勒让德展开（ $x^{4} - 3 x^{3}$ ）

（HW5 题二(1)）任何 $n$ 次多项式都是 $P_{0} \sim P_{n}$ 的有限组合——查”幂↔勒让德”互化表（Legendre Polynomials）直接拆，零积分。

代入

由 $x^{4} = \frac{8 P _{4} + 20 P _{2} + 7 P _{0}}{35}$ 、 $x^{3} = \frac{2 P _{3} + 3 P _{1}}{5}$ ：

$f = x^{4} - 3 x^{3} = \frac{8 P _{4} + 20 P _{2} + 7 P _{0}}{35} - 3 \cdot \frac{2 P _{3} + 3 P _{1}}{5} .$

逐项合并（ $\frac{20}{35} = \frac{4}{7}, \frac{7}{35} = \frac{1}{5}$ ）：

$f = \frac{1}{5} P_{0} - \frac{9}{5} P_{1} + \frac{4}{7} P_{2} - \frac{6}{5} P_{3} + \frac{8}{35} P_{4}$

$x = 1$ ：左 $= 1 - 3 = - 2$ ；右各 $P_{l} (1) = 1$ ， $\frac{1}{5} - \frac{9}{5} + \frac{4}{7} - \frac{6}{5} + \frac{8}{35} = - 2$ ✓。
$x = 0$ ：左 $= 0$ ；右（ $P_{2} (0) = - \frac{1}{2}, P_{4} (0) = \frac{3}{8}$ ） $\frac{1}{5} + \frac{4}{7} (- \frac{1}{2}) + \frac{8}{35} \cdot \frac{3}{8} = 0$ ✓。