谐振子

哈密顿量 $\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{\hat{x}}^2$。解 Schrödinger 方程 $\hat{H}\psi (x)=E\psi (x)$：

$$(-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2)\psi =E\psi .$$

有两种方法。这里用升降算符（第①种）。

升降算符

取

$$\hat{a}=\frac{1}{\sqrt{2m\hslash \omega }}(i\hat{p}+m\omega \hat{x}),{\hat{a}}^{†}=\frac{1}{\sqrt{2m\hslash \omega }}(-i\hat{p}+m\omega \hat{x}).$$

则

$$\hat{a}{\hat{a}}^{†}=\frac{1}{2m\hslash \omega }(m^2{\omega }^2{\hat{x}}^2+{\hat{p}}^2-im\omega [\hat{x},\hat{p}])=\frac{1}{2m\hslash \omega }(m^2{\omega }^2{\hat{x}}^2+{\hat{p}}^2+m\omega \hslash )=\frac{\hat{H}}{\hslash \omega }+\frac{1}{2},$$ $${\hat{a}}^{†}\hat{a}=\frac{\hat{H}}{\hslash \omega }-\frac{1}{2},\text{即}\hat{H}=\hslash \omega ({\hat{a}}^{†}\hat{a}+\frac{1}{2}).$$

由此 $[\hat{a},{\hat{a}}^{†}]=\hat{I}$，$[\hat{a},\hat{H}]=\hslash \omega [\hat{a},{\hat{a}}^{†}\hat{a}]=\hslash \omega \hat{a}$。

本征值谱

考虑 $\hat{H}$ 的一个本征态 $|\lambda ⟩$，设 $\hat{H}|\lambda ⟩=\lambda \hslash \omega |\lambda ⟩$。则

$$\hat{H}\hat{a}|\lambda ⟩=(\hat{a}\hat{H}-\hslash \omega \hat{a})|\lambda ⟩=(\lambda -1)\hslash \omega \hat{a}|\lambda ⟩,$$

即 $\hat{a}|\lambda ⟩$ 的本征值是 $|\lambda ⟩$ 本征值减去 $\hslash \omega$；同理 ${\hat{a}}^{†}|\lambda ⟩$ 本征值加上 $\hslash \omega$，因此称之”升降算符”。

考虑 $\Vert \hat{a}|\lambda ⟩{\Vert }^2=⟨\lambda |{\hat{a}}^{†}\hat{a}|\lambda ⟩=(\frac{E}{\hslash \omega }-\frac{1}{2})⟨\lambda |\lambda ⟩\ge 0$，有 $E\ge \frac{1}{2}\hslash \omega$。故存在一个最小的 ${\lambda }_{\min }$ 满足 $\hat{a}|{\lambda }_{\min }⟩=0$，此时 $\hat{H}|{\lambda }_{\min }⟩=\frac{1}{2}\hslash \omega |{\lambda }_{\min }⟩$，即 $\lambda$ 序列最小值为 $\frac{1}{2}$。因此 $\hat{H}$ 本征值为

$$E_n=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega .$$

归一化与数算符

以上只说明 $|n⟩$ 是解时 $\hat{a}|n⟩$ 也是解，但未归一化。设 $\hat{a}|n⟩=c|n-1⟩$，则 $|c{|}^2=⟨n|{\hat{a}}^{†}\hat{a}|n⟩=⟨n|(\frac{\hat{H}}{\hslash \omega }-\frac{1}{2})|n⟩=n$，取 $c$ 为实数，

$$\hat{a}|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩,{\hat{a}}^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩.$$

进一步 ${\hat{a}}^{†}\hat{a}|n⟩=n|n⟩$（$|n⟩$ 是数算符 ${\hat{a}}^{†}\hat{a}$ 的本征态，本征值为 $n$），$({\hat{a}}^{†}{)}^n|0⟩=\sqrt{n!}|n⟩$，故

$$|n⟩=\frac{1}{\sqrt{n!}}({\hat{a}}^{†}{)}^n|0⟩.$$

坐标表象的波函数

先求 $|0⟩$：$\hat{a}|0⟩=0$，在坐标表象中（见 动量和坐标）$⟨x|\hat{a}|0⟩=0$，而

$$⟨x|\hat{a}|0⟩=\frac{1}{\sqrt{2m\hslash \omega }}⟨x|(i\hat{p}+m\omega \hat{x})|0⟩=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}(\frac{\partial }{\partial x}+{\beta }^{2}x)⟨x|0⟩=0,\beta =\sqrt{\frac{m\omega }{\hslash }}.$$

解 $(\frac{\partial }{\partial x}+{\beta }^{2}x)⟨x|0⟩=0$ 得 $⟨x|0⟩=C\exp (-\frac{1}{2}{\beta }^2{x}^2)$，归一化 $C=(\frac{\beta }{\sqrt{\pi }}{)}^{1/2}$，即

$$⟨x|0⟩=\left(\frac{\beta }{\sqrt{\pi }}{)}^{1/2}\exp \right(-\frac{1}{2}{\beta }^2{x}^2)(\text{基态，偶宇称}).$$

注意到坐标表象下 ${\hat{a}}^{†}=\frac{1}{\sqrt{2}}(-\frac{1}{\beta }\frac{d}{dx}+\beta x)$，故一般态

$$⟨x|n⟩=\frac{1}{\sqrt{n!}}⟨x|({\hat{a}}^{†}{)}^n|0⟩=(\frac{\beta }{\sqrt{\pi }{2}^{n}n!}{)}^{1/2}(-\frac{1}{\beta }\frac{d}{dx}+\beta x{)}^n\exp (-\frac{1}{2}{\beta }^2{x}^2),$$

形式上正是 Hermite 多项式 $H_n(\beta x)$ 乘高斯因子。

常用反解 $\hat{x}=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}(\hat{a}+{\hat{a}}^{†})=\frac{1}{\sqrt{2}\beta }(\hat{a}+{\hat{a}}^{†})$，$\hat{p}=i\sqrt{\frac{m\omega \hslash }{2}}({\hat{a}}^{†}-\hat{a})$。应用见 谐振子例题-含时不确定度。