角动量

定义与对易关系

角动量的定义为 $\vec{\hat{L}}=\hat{r}\times \hat{p}$，即 ${\hat{L}}_i={\epsilon }_{ijk}{\hat{r}}_j{\hat{p}}_k$。有对易关系

$$[{\hat{L}}_i,{\hat{L}}_j]=i\hslash {\epsilon }_{ijk}{\hat{L}}_k,$$

即 $[{\hat{L}}_x,{\hat{L}}_y]=i\hslash {\hat{L}}_z$，$[{\hat{L}}_y,{\hat{L}}_z]=i\hslash {\hat{L}}_x$，$[{\hat{L}}_z,{\hat{L}}_x]=i\hslash {\hat{L}}_y$。

用 ${\hat{L}}^2$ 表示总角动量，定义为 ${\hat{L}}^2={\hat{L}}_i{\hat{L}}_i={\hat{L}}_x^2+{\hat{L}}_y^2+{\hat{L}}_z^2$。有 $[{\hat{L}}^2,{\hat{L}}_z]=0$，因此 ${\hat{L}}^2$ 和 ${\hat{L}}_z$ 之间有共同本征态 $|\lambda ,\mu ⟩$，其中 $\lambda ,\mu$ 分别是 ${\hat{L}}^2$、${\hat{L}}_z$ 的本征值。

升降算符

考虑算符 ${\hat{L}}_{\pm }={\hat{L}}_x\pm i{\hat{L}}_y$，有对易关系

$$[{\hat{L}}_z,{\hat{L}}_{\pm }]=[{\hat{L}}_z,{\hat{L}}_x\pm i{\hat{L}}_y]=\pm \hslash {\hat{L}}_{\pm },[{\hat{L}}^2,{\hat{L}}_{\pm }]=0.$$

则 ${\hat{L}}^2({\hat{L}}_{\pm }|\lambda ,\mu ⟩)={\hat{L}}_{\pm }{\hat{L}}^2|\lambda ,\mu ⟩=\lambda {\hat{L}}_{\pm }|\lambda ,\mu ⟩$，即 ${\hat{L}}_{\pm }|\lambda ,\mu ⟩$ 仍是 ${\hat{L}}^2$ 本征值为 $\lambda$ 的本征态；又

$${\hat{L}}_z({\hat{L}}_{\pm }|\lambda ,\mu ⟩)=({\hat{L}}_{\pm }{\hat{L}}_z\pm \hslash {\hat{L}}_{\pm })|\lambda ,\mu ⟩=(\mu \pm \hslash ){\hat{L}}_{\pm }|\lambda ,\mu ⟩,$$

即 ${\hat{L}}_{\pm }|\lambda ,\mu ⟩$ 是 ${\hat{L}}_z$ 本征值为 $\mu \pm \hslash$ 的本征态。${\hat{L}}_{\pm }$ 把 $\mu$ 升/降一个 $\hslash$。

确定本征值谱

① 考虑 ${\hat{L}}_x^2+{\hat{L}}_y^2={\hat{L}}^2-{\hat{L}}_z^2$，取期望值

$$⟨\lambda ,\mu |({\hat{L}}_x^2+{\hat{L}}_y^2)|\lambda ,\mu ⟩=\lambda -{\mu }^2\ge 0\Rightarrow {\mu }^2\le \lambda ,$$

即 ${\hat{L}}_z$ 的本征值 $-\sqrt{\lambda }\le \mu \le \sqrt{\lambda }$。故必存在最大值 ${\mu }_{\max }$ 与最小值 ${\mu }_{\min }$。

② 顶端 ${\hat{L}}_{+}|\lambda ,{\mu }_{\max }⟩=0$，用 ${\hat{L}}_{-}{\hat{L}}_{+}={\hat{L}}^2-{\hat{L}}_z^2-\hslash {\hat{L}}_z$：

$${\hat{L}}_{-}{\hat{L}}_{+}|\lambda ,{\mu }_{\max }⟩=({\hat{L}}^2-{\hat{L}}_z^2-\hslash {\hat{L}}_z)|\lambda ,{\mu }_{\max }⟩=0\Rightarrow \lambda -{\mu }_{\max }^2-\hslash {\mu }_{\max }=0.$$

底端 ${\hat{L}}_{-}|\lambda ,{\mu }_{\min }⟩=0$，用 ${\hat{L}}_{+}{\hat{L}}_{-}={\hat{L}}^2-{\hat{L}}_z^2+\hslash {\hat{L}}_z$：

$$\Rightarrow \lambda -{\mu }_{\min }^2+\hslash {\mu }_{\min }=0.$$

两式相减得 $({\mu }_{\max }+{\mu }_{\min })({\mu }_{\max }-{\mu }_{\min }+\hslash )=0$。${\mu }_{\max }={\mu }_{\min }-\hslash$ 不合理（最大值不应小于最小值），故 ${\mu }_{\max }=-{\mu }_{\min }$。又从顶端逐步用 ${\hat{L}}_{-}$ 降到底端，${\mu }_{\max }-{\mu }_{\min }=k\hslash$（$k$ 为非负整数），于是 ${\mu }_{\max }=\frac{k}{2}\hslash$。

令 ${\mu }_{\max }=l\hslash$（$l$ 是整数或半整数），代入 $\lambda -{\mu }_{\max }^2-\hslash {\mu }_{\max }=0$ 得 $\lambda =l(l+1){\hslash }^2$。

本征值与本征态

把共同本征态记为 $|l,m⟩$（这里 $\lambda \leftrightarrow l$、$\mu \leftrightarrow m\hslash$）：

$${\hat{L}}^2|l,m⟩=l(l+1){\hslash }^2|l,m⟩,{\hat{L}}_z|l,m⟩=m\hslash |l,m⟩,$$

其中 $l$ 是整数或半整数，$m=-l,-l+1,\dots ,l$。升降算符的作用

$${\hat{L}}_{\pm }|l,m⟩=\sqrt{l(l+1)-m(m\pm 1)}\hslash |l,m\pm 1⟩.$$

角动量平方 ${\hat{L}}^2$ 的本征态 $|l,m⟩$ 在球坐标下的表达式为球谐函数

$$Y_{lm}(\theta ,\varphi )=(-1{)}^m\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi }\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}{P}_l^m(\cos \theta )e^{im\varphi }.$$

应用见 角动量例题-Ln的可能测量值。