角动量例题-Ln的可能测量值

角动量例题：${\hat{L}}_n=\vec{\hat{L}}\cdot \vec{n}$

通用结果见 角动量。

题目：已知在 $({\hat{L}}^2,{\hat{L}}_z)$ 表象下，粒子运动状态的角度部分可以用如下波函数描写

$$\psi (\theta ,\varphi )=Y_{00}(\theta ,\varphi )+Y_{10}(\theta ,\varphi )+\sqrt{2}{Y}_{11}(\theta ,\varphi ).$$

（1）求 ${\hat{L}}^2$ 期待值。（2）求算符 ${\hat{L}}_n=\vec{\hat{L}}\cdot \vec{n}$ 的可能测量值和相应概率，其中

$$\vec{n}={\vec{e}}_x\sin \alpha \cos \beta +{\vec{e}}_y\sin \alpha \sin \beta +{\vec{e}}_z\cos \alpha$$

是任意单位矢量，$\alpha$ 和 $\beta$ 是球坐标的方位角，${\vec{e}}_x,{\vec{e}}_y,{\vec{e}}_z$ 分别是 $x,y,z$ 方向的单位矢量。

归一化

记 $|00⟩=Y_{00}$ 等，$|\psi ⟩=|00⟩+|10⟩+\sqrt{2}|11⟩$，各项正交归一，故 $⟨\psi |\psi ⟩=1+1+2=4$。下面所有期望都带上 $\frac{1}{4}$ 的归一化因子。

（1）${\hat{L}}^2$ 期待值

$Y_{00}$ 对应 $l=0$（${\hat{L}}^2=0$），$Y_{10},Y_{11}$ 对应 $l=1$（${\hat{L}}^2=2{\hslash }^2$）：

$$⟨{\hat{L}}^2⟩=\frac{1}{4}(⟨00|{\hat{L}}^2|00⟩+⟨10|{\hat{L}}^2|10⟩+2⟨11|{\hat{L}}^2|11⟩)=\frac{1}{4}(0+2{\hslash }^2+2\cdot 2{\hslash }^2)=\frac{3}{2}{\hslash }^2.$$

（2）${\hat{L}}_n$ 的期望

${\hat{L}}_n={\hat{L}}_x\sin \alpha \cos \beta +{\hat{L}}_y\sin \alpha \sin \beta +{\hat{L}}_z\cos \alpha$，先算 ${\hat{L}}_x,{\hat{L}}_y,{\hat{L}}_z$ 的期望。由

$${\hat{L}}_x=\frac{1}{2}({\hat{L}}_{+}+{\hat{L}}_{-}),{\hat{L}}_y=\frac{1}{2i}({\hat{L}}_{+}-{\hat{L}}_{-}),$$

以及 ${\hat{L}}_{\pm }|l,m⟩=\sqrt{l(l+1)-m(m\pm 1)}\hslash |l,m\pm 1⟩$，逐项作用：

$${\hat{L}}_{+}|10⟩=\sqrt{2}\hslash |11⟩,{\hat{L}}_{+}|00⟩={\hat{L}}_{-}|00⟩=0,{\hat{L}}_{+}|11⟩=0,$$ $${\hat{L}}_{-}|11⟩=\sqrt{2}\hslash |10⟩,{\hat{L}}_{-}|10⟩=\sqrt{2}\hslash |1,-1⟩.$$

于是 ${\hat{L}}_{+}|\psi ⟩=\sqrt{2}\hslash |11⟩$，${\hat{L}}_{-}|\psi ⟩=2\hslash |10⟩+\sqrt{2}\hslash |1,-1⟩$，故

$$⟨{\hat{L}}_x⟩=\frac{1}{4}⟨\psi |\frac{1}{2}({\hat{L}}_{+}+{\hat{L}}_{-})|\psi ⟩=\frac{1}{4}(\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{2}\hslash +1\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\hslash )=\frac{1}{2}\hslash ,$$ $$⟨{\hat{L}}_y⟩=0(\text{两项贡献}\frac{1}{i}\hslash \text{与}-\frac{1}{i}\hslash \text{抵消}),$$ $$⟨{\hat{L}}_z⟩=\frac{1}{4}⟨\psi |{\hat{L}}_z|\psi ⟩=\frac{1}{4}(\sqrt{2}⟨11|\cdot \sqrt{2}\hslash |11⟩)=\frac{1}{2}\hslash .$$

代入

$$⟨{\hat{L}}_n⟩=\frac{1}{2}\hslash \sin \alpha \cos \beta +0+\frac{1}{2}\hslash \cos \alpha =\frac{1}{2}\hslash (\cos \alpha +\sin \alpha \cos \beta ).$$

注：手写解到此给出的是 ${\hat{L}}_n$ 的期望值。题目（2）要的”可能测量值与相应概率”还需在 $l=0$ 与 $l=1$ 子空间内对 ${\hat{L}}_n$ 单独对角化、再把 $|\psi ⟩$ 投影到其本征态上——这一步原稿未展开，留待补。