系统随时间的演化

演化公设与时间演化算符

第四公设指出 $|\psi (t)⟩=\hat{U}(t,t_0)|\psi (t_0)⟩$，$\hat{U}$ 是幺正的，满足薛定谔方程

$$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\psi (t)⟩=\hat{H}|\psi (t)⟩.$$

事实上也可利用另一种表述。量子力学中我们关心期望值

$$⟨\psi (t)|{\hat{A}}_S|\psi (t)⟩=⟨\psi (t_0)|{\hat{U}}^{†}{\hat{A}}_S\hat{U}|\psi (t_0)⟩,$$

态的演化可以转而视为算符的演化，比如海森堡绘景 (Heisenberg picture)。

海森堡运动方程

令 ${\hat{A}}_H={\hat{U}}^{†}{\hat{A}}_S\hat{U}$，则

$$\frac{d{\hat{A}}_H}{dt}=\frac{d{\hat{U}}^{†}}{dt}{\hat{A}}_S\hat{U}+{\hat{U}}^{†}\frac{\partial {\hat{A}}_S}{\partial t}\hat{U}+{\hat{U}}^{†}{\hat{A}}_S\frac{d\hat{U}}{dt}.$$

由薛定谔方程 $i\hslash \frac{d\hat{U}}{dt}=\hat{H}\hat{U}$，故 $\frac{d\hat{U}}{dt}=-\frac{i}{\hslash }\hat{H}\hat{U}$，$\frac{d{\hat{U}}^{†}}{dt}=\frac{i}{\hslash }{\hat{U}}^{†}\hat{H}$。代入

$$\frac{d{\hat{A}}_H}{dt}=\frac{i}{\hslash }{\hat{U}}^{†}[\hat{H},{\hat{A}}_S]\hat{U}+{\hat{U}}^{†}\frac{\partial {\hat{A}}_S}{\partial t}\hat{U},$$

即海森堡运动方程

$$\frac{d{\hat{A}}_H}{dt}=\frac{1}{i\hslash }[{\hat{A}}_H,{\hat{H}}_H]+(\frac{\partial {\hat{A}}_S}{\partial t}{)}_H.$$

Ehrenfest 定理

注意到 $⟨{\hat{A}}_H⟩=⟨{\psi }_H|{\hat{A}}_H|{\psi }_H⟩=⟨\hat{A}⟩$，且 $⟨({\partial }_t{\hat{A}}_S{)}_H⟩=⟨\psi |{\partial }_t{\hat{A}}_S|\psi ⟩$——期望值与表象无关。对海森堡运动方程取期望，得

$$\frac{d}{dt}⟨\hat{A}⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[\hat{A},\hat{H}]⟩+⟨\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}⟩.$$

将 $\hat{A}$ 分别替换为 $\hat{x}$、$\hat{p}$（不显含 $t$），对 $\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+V(\hat{r})$：

$$\frac{d⟨\hat{r}⟩}{dt}=\frac{1}{i\hslash }⟨[\hat{r},\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+V(\hat{r})]⟩=⟨\frac{1}{2mi\hslash }[\hat{r},{\hat{p}}^2]⟩=\frac{⟨\hat{p}⟩}{m},$$ $$\frac{d⟨\hat{p}⟩}{dt}=\frac{1}{i\hslash }⟨[\hat{p},V]⟩=⟨\frac{1}{i\hslash }(-i\hslash \nabla V)⟩=-⟨\nabla V⟩.$$

合并即量子力学版本的”牛顿第二定律”

$$m\frac{d^2⟨\hat{x}⟩}{d{t}^2}=-⟨\nabla V(\hat{x})⟩.$$

一个需要警惕的边界：$⟨F(\hat{x})⟩\ne F(⟨\hat{x}⟩)$

经典力学中质点受力是 $-\nabla V(x)$，要想 $⟨\hat{x}⟩$ 完全按经典轨迹运动，右边应是 $-\nabla V(⟨\hat{x}⟩)$；但 Ehrenfest 给出的是力算符的期望 $-⟨\nabla V(\hat{x})⟩$。二者一般不等：

• 只有当 $V$ 是常数、线性（匀强场）、或二次型（谐振子）时，$\nabla V$ 是常数或线性函数，两个量才严格相等，量子波包中心的轨迹与经典质点精确重合。
• 一旦 $V$ 含三次以上的高阶项（真实微观势场几乎都非线性），波包中心的演化就会偏离经典轨迹。