基础公设

1. 状态公设 (state Postulate)

对于一个孤立的物理系统，给定任意时刻，其状态可以由一个可分 Hilbert 空间中的一个归一化矢量（态矢）$|\psi ⟩$ 完全描述。

也就是态叠加原理（Hilbert 空间是线性空间）。Hilbert 空间是线性空间再加上内积和完备性构成的。

2. 可观测量公设

量子力学中，可观测量由 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 上的自伴算符表示，即

$$\hat{A}={\hat{A}}^{†}.$$

（相关概念在 0.1 中）

• 命题 1. 自伴算符的本征值为实数（见 0.1）。
• 命题 2. 属于不同本征值的本征矢正交 $\to$ 可以选出一组正交本征矢。
• 命题 3.（谱定理）这组本征矢完备，它们张成整个 Hilbert 空间。

3. 测量公设

1. 对应 $|\psi ⟩$ 测量观测量 $\hat{A}$，一定得到（$\hat{A}$ 的）本征值。
2. 测得 $a_n$ 的概率为

$$P(a_n)=|⟨a_n|\psi ⟩{|}^2,$$

其中 $|a_n⟩$ 是对应于 $a_n$ 的归一化本征态。 3. 态坍缩：测量一旦完成、得到结果 $a_n$，系统状态会瞬时从 $|\psi ⟩$ 坍缩到 $|a_n⟩$。

4. 演化公设

孤立系统中状态矢量随时间的演化服从薛定谔方程：

$$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\psi (t)⟩=\hat{H}|\psi (t)⟩.$$

5. 复合系统公设

两个物理系统（${\mathcal{H}}_1$ 和 ${\mathcal{H}}_2$）组合成的复合系统，其状态空间

$$\mathcal{H}={\mathcal{H}}_1\otimes {\mathcal{H}}_2$$

（对全同粒子模型对称性）。

公设 3 与 4 的冲突：测量问题

可以看到，公设 3（测量）与公设 4（演化）之间存在逻辑上的冲突：

1. 第四公设告诉我们，状态的演化是决定论的、连续的、幺正的（信息守恒）。
2. 第三公设却告诉我们，在测量发生的瞬间，状态的演化是概率性的、非连续的、非幺正的（信息丢失）。

这就引出了量子力学最深层的病态——测量问题 (Measurement Problem)。什么是”测量”？如果测量仪器本身也是由符合量子力学的原子所构成的（服从第四公设），那么为什么这些仪器和系统相互作用时，整个复合系统不再服从薛定谔方程的幺正演化，而是发生了第三公设的”坍缩”？这两个公设的边界在哪里？

物理学界对这个问题有几种主要态度。一种是哥本哈根诠释，也就是大多数教科书采用的立场：承认这两套公设各管各的领域，不被测量时用公设 4，测量时用公设 3，不再追问”测量到底是什么”这个问题。它在实践中非常好用，但在逻辑上确实留了一个口子。另一种是 Everett 的多世界诠释，它的策略很激进——直接砍掉公设 3，认为只有公设 5 是基本的，幺正演化永远成立；所谓的”坍缩”只是观测者自身也进入了叠加而后从内部看到的表象。还有退相干理论，它不算一种诠释，而是一个公设 5 框架内可以推导的物理过程：系统与环境耦合，干涉项在实践中极快地衰减到不可观测，使得系统看起来”好像”坍缩了。但它只解决了”为什么看不到宏观叠加”的问题，并没有解决”为什么最终只得到一个确定结果”的问题。