递推全是等式为何仍有误差

递推全是等式，为什么结果还有误差

困惑：书上推一维伊辛的 RG，方程 (a)–(d) 一路都是等号，没有一个 ≈，凭什么算出来的 $g(K)$ 还和精确值差一点？（表见 一维伊辛自由能-Chandler精确值）

等式是”关系”，不是”答案”

递推关系（如 (d)）

$g(K)=\frac{1}{2}g(K^{\prime })+\frac{1}{2}\ln 2+\frac{1}{2}{K}^{\prime },K^{\prime }=\frac{1}{2}\ln \cosh 2K$

确实是精确等式，但它只是一条把 $g$ 在两个耦合 $K$、$K^{\prime }$ 处的值联系起来的关系：一个方程、两个未知数 $g(K)$ 与 $g(K^{\prime })$。它本身产生不出任何一个数——你只能用它把 $g(K)$ 换算成 $g(K^{\prime })$，再换算成 $g(K^{\prime \prime })$……得到一条悬空的链

$g(K_0)\to g(K_1)\to g(K_2)\to \cdots$

每个箭头都精确，但整条链是”浮”的，直到你钉死其中一个值。要把”关系”变成”数字”，必须额外注入一个已知的起始值（边界条件）。

类比你熟的东西：递推式 $a_n=\frac{1}{2}{a}_{n+1}+c_n$、或微分方程 $y^{\prime }=f(y)$，方程再精确，不给初始/边界条件也定不出具体解。方程是等式 ≠ 解是精确的。

唯一的 ≈ 藏在起始值里

Chandler 在哪儿钉值？在小耦合 $K^{\prime }=0.01$ 处，他说：耦合微弱、自旋近乎自由，$Q\approx 2^N$，于是

$g(0.01)\approx \ln 2=\mathrm{0.693147.}$

这一步是近似——但它是用文字讲出来的物理论证，没写进递推链，所以你在等式堆里找不到那个 ≈。它的真值其实是 $g(0.01)=\ln (2\cosh 0.01)=0.693197$，差 $5\times 10^{-5}$。整张表唯一的误差，就来自这一个种子。 之后每用一次 (d)，前一个 $g$ 被乘 $\frac{1}{2}$，种子误差就减半（一维伊辛自由能-Chandler精确值 的 $E(K)=\frac{1}{2}E(K^{\prime })$）。

精确的边界条件其实在不动点上

值得一提：递推本身和真值是自洽的——把精确解 $g=\ln (2\cosh K)$ 代进 (d) 两边严格相等。换句话说，递推没说谎，只要边界条件给对，它给出的就是精确解。

而精确的边界条件就在稳定不动点 $K=0$（一维伊辛抽取RG）：$K=0$ 时自旋真正解耦，$Q=2^N$ 一字不差，$g(0)=\ln 2$ 精确成立。Chandler 的近似只是把这个”$K=0$ 的精确值”挪到了”$K^{\prime }=0.01$ 的有限耦合”上用；若让 $K^{\prime }\to 0$，误差也 $\to 0$，就回到精确解。

一句话与普遍教训

递推等式给的是精确的流；把流积分成数字，还需要一个起点。一维里这个起点能取到精确（不动点 $K=0$），所以误差只来自”在 $0.01$ 而非 $0$ 处起步”，且可控、可消。

更一般：RG 的流动方程常常是精确（或可系统推导）的，但要落成数值，得从某个已知端（高温自由极限、弱耦合微扰、不动点）出发把流积起来——近似与输入正是在这个”对接已知端”的环节进来的，而不在流动方程本身。