一维伊辛自由能-Chandler精确值

一维伊辛自由能：RG 迭代 vs 精确值（Chandler 128 页表）

那张表把一维伊辛链每自旋的自由能 $g(K)$ 用两种办法各算一遍、并排比较：左列”重正化群”是 RG 递推迭代出的近似结果，右列”精确值”是解析精确解。表的用意是检验 RG 方法——看它能不能重现已知的精确答案。

g(K) 是什么

Chandler 记配分函数 $Q(K,N)$（$N$ 个自旋、耦合 $K=J/k_{B}T$，$-E/k_{B}T=K\sum s_i{s}_{i+1}$，见 一维伊辛抽取RG），并定义

$\ln Q(K,N)=Ng(K).$

自由能 $F=-k_{B}T\ln Q$（从配分函数导出热力学量），所以 $g(K)$ 就是每个自旋的自由能（差一个 $-k_{B}T$ 因子），是个强度量（不随系统大小 $N$ 变）。表里两列都是这个 $g(K)$。

精确值：解析精确解 $g=\ln (2\cosh K)$

一维伊辛链可以精确求和。取开链 $N$ 个自旋、$N-1$ 条键，换成键变量 ${\tau }_i=s_i{s}_{i+1}\in \{\pm 1\}$（给定端点 $s_1$ 和全部 ${\tau }_i$ 就能还原所有自旋，是一一对应，且各 ${\tau }_i$ 相互独立）：

$Q={\sum }_{s_1=\pm 1}{\prod }_{i=1}^{N-1}{\sum }_{{\tau }_i=\pm 1}{e}^{K{\tau }_i}=2(2\cosh K{)}^{N-1}.$

取热力学极限 $N\to \infty$，边界的 $O(1)$ 项可忽略：

$\boxed{g(K)=\frac{1}{N}\ln Q=\ln (2\cosh K).}$

（这也就是传递矩阵法里最大本征值 ${\lambda }_{+}=2\cosh K$ 给出的结果。）把每个 $K$ 代进去，就是右列”精确值”。验证首行 $K=0.01$：$\ln (2\cosh 0.01)=\ln 2.0001=0.693197$，与表一致。

重正化群列：递推 + 一个近似种子

RG 不直接求和，而是用抽取（decimation）得到的递推关系一步步推。一维伊辛抽取RG 给的是正向的 $K^{\prime }=\frac{1}{2}\ln \cosh 2K$；这里用它的”逆向”一组（Chandler 的 (c)(d)）：

$K=\frac{1}{2}{\cosh }^{-1}(e^{2K^{\prime }})\text{(c)},g(K)=\frac{1}{2}g(K^{\prime })+\frac{1}{2}\ln 2+\frac{1}{2}{K}^{\prime }\text{(d)}.$

（(d) 来自 $\ln Q(K,N)=\frac{N}{2}\ln f+\ln Q(K^{\prime },\frac{N}{2})$ 配上 $f=2e^{K^{\prime }}$。）迭代要有起点：取很小的 $K^{\prime }=0.01$，耦合微弱、自旋近乎自由，每个自旋 2 个独立取向，$Q\approx 2^N$，于是近似地 $g(0.01)\approx \ln 2=0.693147$。这是全程唯一的近似来源（种子）。从它出发反复用 (c)(d)，耦合 $K$ 一步步变大，逐行填出左列。

例如第一步：(c) 给 $K=\frac{1}{2}{\cosh }^{-1}(e^{0.02})=0.100334$；(d) 给 $g=\frac{1}{2}(0.693147)+\frac{1}{2}\ln 2+\frac{1}{2}(0.01)=0.698147$。

凭什么有”真实值”？误差怎么定义（练习 5.13）

会觉得”这玩意儿哪来的真实值”，多半是把 RG 当成了系统的定义。其实系统由它的配分函数 $Q(K,N)$ 定死，$g(K)$ 是 $Q$ 里客观存在的一个数；RG 只是算这个数的一种手续，不是它的定义。而一维伊辛恰好能被独立地精确求和，于是同一个 $g(K)$ 有两条互不依赖的算法：

• 路 A（精确）：直接求和 → $g=\ln (2\cosh K)$，全程无近似。这就是”真实值/精确值”。
• 路 B（RG）：迭代 (c)(d)。递推本身精确，但种子 $g(0.01)\approx \ln 2$ 是近似。

练习 5.13 的”误差”就是两路之差

$E(K)=g_{\mathrm{RG}}(K)-\ln (2\cosh K),$

定义得清清楚楚——正因为路 A 给了一个不含糊的真值。说白了，一维只是练兵的沙盘：答案你本来就知道，先拿它量一量 RG 准不准、误差怎么衰减，心里有底，再去 2D/3D 用 RG（那里没有这种初等闭式，“真实值”得靠昂萨格的 2D 精确解或高精度数值）。

为什么越往下越准

关键：一维抽取是精确的，所以精确值 $g_{\mathrm{ex}}$ 也严格满足同一条 (d)。两式相减，误差 $E(K)\equiv g_{\mathrm{RG}}(K)-g_{\mathrm{ex}}(K)$ 满足

$E(K)=\frac{1}{2}E(K^{\prime }).$

每迭代一步（$K$ 增大一格），误差恰好减半。种子误差 $E(0.01)=\ln 2-0.693197=-5\times 10^{-5}$ 本就很小，再被 $(\frac{1}{2}{)}^n$ 一路压下去，所以”每一个连续迭代得到更精确的结果”——验证：下一行 $K=0.100334$ 的误差 $0.698147-0.698172=-2.5\times 10^{-5}$，正好是上一行的一半；到 $K\approx 1.66$ 两列已小数点后六位相同。

表（节选，与原书核对）

$K$	重正化群	精确值
0.01	$\ln 2=0.693147$	0.693197
0.100334	0.698147	0.698172
0.327447	0.745814	0.745827
0.636247	0.883204	0.883210
1.662637	1.697968	1.697968
2.702146	2.706633	2.706634

一句话：“精确值”是一维伊辛自由能的解析精确解 $g=\ln (2\cosh K)$，当标尺；“重正化群”列是 RG 递推（带一个小耦合近似种子）算出的同一个量。二者吻合，证明 RG 方案可靠。